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E . Zurl.

Der Berechnung des Wertes dieses Kettenbruches liegen ganz sprechend wie bei den regelmäßigen Kettenbrüchen^^) die Beziehungen:

^0 R ;• I?

Сл = Фп) ' - •> Öft+fc-l)

zugrunde . Aus der zweiten ergibt sich nach der vorausgehenden Methode Ca und aus der ersten dann Co- Natürlich läßt sich auch für Co selbst eine quadratische Gleichung aufstellen, wovon abgesehen werden solL Der Begriff der primitiven und imprimitiven Periode kann schränkt in das Gebiet der reduziert-regelmäßigen Kettenbrüche nommen werden.

§2 . Analogou zum Satz von Lagrange über die Periodizität ^*).

Das Ergebnis des vorausgegangenen Paragraphen läßt sich als logen zum Satz von Euler ^^) aussprechen als

Satz 14: Ein 'periodischer reduziert-regelmäßiger Kettenbruch stellt eine quadratische Irrationalzahl dar.

Es folgt das Analogon zum Satz von Lagrange als

Satz 15: Der reduziert-regelmäßige Kettenbruch, in welchen sich eine quad/ratische Irrationalzahl entwickeln läßt, ist stets 'periodisch.

Der Beweis ist am einfachsten anlehnend an die Idee von Oharves ^^) zu leisten. Die quadratische Gleichung, welcher Co genügt, sei

aCI + bCo - ^c - 0,

wo a, b und с ganze Zahlen sind. Denkt man sich nun Co in einen reduziert-regelmäßigen Kettenbruch entwickelt, so ist

^___ - ^v—1 ^v — ^,— 2

Setzt man dies oben ein, so ergibt sich

a { A , ^^Cv - Л_2)2 + Ь{Аг-гСг - -4,_2) (5,_i Cv - B.-s)

+ с(Д_,с.-Д-2Г = 0, oder

Vv Cv +qyCv + ry = 0,

10 ) „Perron", Kap. 3, § 19, IL ") „Perron", Kap. 3, § 20.

13 ) Durchgeführt in „Perron", Kap. 3, § 21. Ein anderer Beweis bei „Perron", §38.