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В . L. van der Waerden und L. J. Smid.

Den anderen Satz nennen wir Büschelsatz, weil er einen allgemeinen Satz über Büschel algebraischer Kurven darstellt. Er lautet für den Fall verschiedener Punkte: Wenn man vier Paare verschiedener Punkte hat, so kann man in sechs Weisen zwei dieser Paare herauswählen; wenn man in fünf Weisen vier Punkte eines Kreises erhält, so ist das auch das sechste Mal der Fall. Dieser Büschelsatz läi3t sich herleiten aus den einfachsten Axiomen der Kugelgeometrie.

. Auch hier genügt es für unser Ziel nicht, wenn wir den Büschelsatz als Axiom hinzunehmen, wohl aber wenn wir Miquel postulieren, allerdings in abgeänderter Form (wobei ein Punktepaar der Figur koinzidieren darf). Der Büschelsatz läßt sich nachher beweisen.

2 . Als Axiome der ,,axiomatischen Kreisgeometrie" nehmen wir elementare Sätze der „gewöhnlichen" (numeralen) inversen Geometrie.

Axiom I. Die Punkte bilden eine Menge.

Axiom II. Ein Kreis ist eine nichtleere Menge von Punkten.

Axiom III. Es gibt wenigstens vier verschiedene Punkte, welche nicht zu einem Kreise gehören.

Axiom IV. Drei verschiedene Punkte gehören einem und nur einem Kreise an.

Folgerung : Zwei verschiedene Kreise haben keinen, einen oder zwei verschiedene Punkte gemeinsam.

Definition : Die (zusammenfallenden oder verschiedenen) Punkte P,Q bilden den „vollständigen Durchschitt" (vD) der Kreise a und ß, wenn P und Q beiden Kreisen angehören und es keinen anderen gemeinsamen Punkt von a und ß gibt.

Definition : Wenn zwei Kreise nur einen Punkt gemeinsam haben, so sagt man, daß sie sich in jenem Punkte „berühren".

Axiom V. Wenn ein Punkt zu einem Kreise gehört und ein zweiter Punkt nicht zum Kreise gehört, so gibt es einen und nur einem, Kreis, welcher durch den zweiten Punkt geht und den Kreis im ersten Punkte berührt.

Folgerung : Wenn zwei verschiedene Kreise einen dritten Kreis in demselben Punkte berühren, so berühren auch diese zwei Kreise sich in jenem Punkte. Denn hätten sie einen zweiten Schnittpunkt, so müßten sie nach Axiom V zusammenfallen.

Definition : Die Menge aller Kreise, welche einen Kreis in einem festen Punkte P berühren oder mit diesem Kreis zusammenfallen, nennt man ein zu P gehöriges Berührungsbüschel.

Aus diesen Axiomen läßt sich unschwer beweisen: Jeder Kreis hat wenigstens drei verschiedene Punkte. Zu jedem Punkte gehören wenigstens drei verschiedene Berührungsbüschel. Jedes Berührungsbüsohel enthält