über Systeme von linearen partiellen gleichungen erster Ordnung.

Von Wei-Liang Chow in Shanghai (China).

C . Carathéodory hat bei seiner Begründung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik i) den folgenden Satz über eine Pfaffsche Gleichung bewiesen: Wenn eine Pfaffsche Gleichung in jedem Punkte die Eigenschaft hat, daß es in jeder Umgebung von ihm Punkte gibt, die sich nicht durch eine Integralkurve der Gleichung mit ihm verbinden lassen, dann ist die Gleichung vollständig integrierbar. Dabei ist imter einer Integralkurve einer Pfaffschen

n

Gleichung E oij{Xi, . . ., x^) dx^ — 0 eine stückweise stetig differenzierbare Kurve 2) Xj (t) zu verstehen, deren jedes stetig differenzierbare Stück (auch in den Endpunkten) der Gleichung 2J <Xj (xi (t), . . ., x^ (0) -^Z = ^ gefügt.

9 = 1 (t t

Diesen Satz, den Carathéodory durch eine geometrische Konstruktion der Integralhyperflächen bewiesen hat, werden wir nun in einer ganz anderen Weise beweisen und gleichzeitig auf Systeme von Pfaffschen Gleichungen verallgemeinern. Unsere Methode besteht darin, daß wir zuerst in bekannter Weise das Pfaffsche System auf ein System von linearen partiellen gleichungen erster Ordnung zurückführen und dann die von einem Punkte aus durch einen aus den Charakteristiken dieser Differentialgleichungen sammengesetzten Wege erreichbaren Punkte untersuchen. Dabei stellt es sich heraus, daß dieselben Betrachtungen uns auch die Mittel in die Hand geben, einen neuen Aufbau der Integrationstheorie der Systeme von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung zu gewinnen, der dem üblichen in vielen Hinsichten vorzuziehen ist. Während nämlich die übüche Theorie für ein vollständiges System von den Koeffizienten und den Lösungen nur einmalige stetige Differenzierbarkeit voraussetzt, fordert die Heranziehung der Юammerausdгücke bei den nichtvollständigen Systemen viel mehr. Erstens muß wenigstens genügend oftmalige Differenzierbarkeit von den

Ï ) Math. Annalen 67 (1909), S. 369.

2 ) Eine Funktion heißt stetig differenzierbar, wenn sie stetige partielle leitungen erster Ordnung besitzt. Eine Kurve x^ (t) heißt stetig differenzierbar, wenn die Funktionen Xj.(t) so sind. Eine Kurve heißt stuckweise stetig differenzierbar» wenn sie stetig und aus endlich vielen stetig differenzierbaren (abgeschlossenen) Kurven- stucken zusammengesetzt ist.