Integraîfcransf ormationen. ■ 111

die der Klasse Iß (— oo, cp) angehört, — Jede FunMion ç)*(^) au^Iß{-~ oo, oo) ist die Ш-Transfmmierte einer FunMion <p (г) aus Iß (0, oc), die man durch die ümkehrformel

+ а

( 2 . 2 ) <p{z)=^U.m.^ [z~i'''^<p*iy)dt/^^-^g?*;z}

— а

erhalt .

In Zukunft bezeichnen wir die 91-Transformierte einer Funktion immer durch denselben Buchstaben wie diese mit einem oberen Stern.

Hilfssatz 2 (Parsevalsche Gleichung). Unter der Voraussetzung von Hilfssatz 1 ist

oo + oo

( 2 . 3 ) ^\q>{z)\^dz=^^ |i9)*(^)N3/,

0 —oo

d . h .

oo + °o

<p { z ) fiz\dz==j^ J 9*iy)9*{y)ày

0 —oo

und allgemeiner

oo + oo

( 2 . 4 ) 1 (pi{z)^2iz)dz = ^ j <Pi{y)(pt{y)äy.

0 —oo

Hilfssatz 3 (Umgekehrter Kompositionssatz). ТГе»г% (px{z) und (p2.{^) zu Iß (0, 00 ) gehören, so gilt für die Komposition

CO oo

( 2 . 5) срг(z)о qh(z) =^ \ ^i(у) Ы0у = \ Ы^О 92{j) Ч

о 6

die Beziehung ^) :

- t oo

( 2 . 6 ) <Pii^)o<pM=-^ {^'~^'~'''<PÎ(y)9i(y)dy.

Hilfssatz 4 (I. Kompositionssatz). Gehören <pi (z) und (p.j, (2) zu Iß{ö, 00) und q>tiy) ' 9t (y) 2;m Iß (— 00, 00), so gehört auch (pi о (f>-z ^w i>2 (0, 00), und es ist _________ Ш {91 о C'a} = 9Î (Ы • 9Î {c'a}.

00 "^ I T о 7 1^ 1 ------ 1

j ç) (2) p «fz = M ^ J — I ) -y gehört mit 97(2) auch------— zu L^{0,qc)^

Der Integrand des Kompositionsintegrals gehört als Produkt zweier Punktionen aus 1Л (0, oc) zu L^ (0, oc), das Integral konvergiert also absolut. — Basselbe gilt für das lategïal auf der rechten Seite von (Z. 6), da ç>* uud çsf zu X^ {— oc, 00) gehören, ihr Produkt also zu X^{—oc, oc).