Lineare IntegralgteichTingeÄ. 137

Behauptung . К {x,y; X) besitzt nur reelle Eigenwerte^). Beweis. Seien Я und Я zwei konjugiert komplexe Eigenwerte, 9? (ж) und ^ (я;) die zugehörigen Eigenfunktionen. Dann folgt wegen

\ ( p { x ) f {x) dx{j- - —\ = [\ (p{x)'^ (y) [K (x, y;X)-K {x, y; l)}dx dy

nach Division durch 2 г-mal dem Imaginärteil von Я

- jjjF j (pix)^{x)dx = JJ^'^l^l^JJ \\(р{х)-ф{у)Н,{х,у)ахау.

Hier ist die linke Seite negativ, die rechte dagegen positiv oder höchstens Null; denn mit q) (x) == Ф (x) + iW (x) wird ja

Я Vi^) 9(y) H,{x, y) dx dy = l\ Ф{х) H^{x,y) Ф(у) dxdy

+ \l W{x) E^{x,y) W{y) dx dy ^ 0. Aus dem aufgewiesenen Widerspruch folgt die Richtigkeit des Satzes IX.

Anwendnng auf die Kerne des Herrn МЬ*ш1аа.

Die in Satz IX behandelten Kerne (7) sind für manche Eragestellimgen doch noch recht unbequem, falls die auftretende Summe unendlich viele Glieder besitzt. Die Schwierigkeiten bereiten die Häufungspunkte der Pol- steUen von К {x, y; Я), die ja ohne weitere Voraussetzimgen sogar die gesamte reelle Я-Achse erfüllen können. Um solchen Schwierigkeiten zu entgehen, wollen wir im folgenden stets nur endlich viele Summanden zulassen.

Satz X. Voraussetzung, a) Es sei

( 8 ) E {X, y;X)=^G {x, y) + 2J H, (x, y) '"f^rj

m , it den weü&ren Torausseimmgen, des Satzes IX.

ß ) überdies existiere ein genügend großer fosiiiwr Wert я >----- für

%

alle V derart^ daß

N

К {x, y; x) = G (x, y) + ^E^ (ж, у)

unendlich viele fositive Eigenwerte besitzt; die gleiche Aussage gdte für к (ж, у; Qo)^Q {x, У)+ 2j ^^''^*' У^'

* ) Unsfâ^Xejfttj(7) enttelfc 4ie Kehrte {I> ébs Иеета Жгаайа.