Metrisierung der automorphen Formen. 515

( y Ф ö) einen zu r (r) komplementär-orthogonalen Vektor, der (q, t) — yl mit dem gegebenen у erfüllt. Die Eigenschaft eines Formenvektors mit //. Komponenten, zu sich selbst komplementär-orthogonal zu sein, bedeutet, daß seine Komponenten nach Division durch die Quadratwurzel aus der positiven Zahl у eine normierte Orthogonalbasis von (£ bilden.

Mit diesen Begriffen und auf Grund dieser Tatsachen lassen sich nun die wichtigsten Fragen über die explizite analytische Darstellung der ganzen Spitzenformen der allgemeinen Klasse {Г, — ^,'w} mühelos beantworten.

Es seien n ,n , . . ., n^ ganze Zahlen > 0, es sei n = n — in ,n , ...,n\ und Q{r,Ä,n) der Formenvektor ♦•

( 136 ) g(T, Ä, n) = {д{г, Л, n_^), д{т, А, n^), . . ., g(r, А, n^)};

7 . bezeichnet hier und in den analogen folgenden Untersuchungen eine liebige natürliche Zahl, die auch größer als /г sein kann. Wir fragen zunächst nach der Maximalzahl linear unabhängiger unter den Komponenten dieses Vektors a,{x,A, n).

Ist der Basisvektor <}(т) über ^ mit seiner Entwicklung in der Spitze

С = ^~ 00 durch (132 a) vorgelegt, wobei die dort mit Я angegebene Zahl hier den Wert /г hat, so ergeben die Grundformeln

( q ( T ) , g(T, A, n)) = ((c) (T), g{r, A, n ))) - e ф )

1 - 7г_ «,_ та.-»

Nach Satz 15 stimmt also die Maximalzahl linear unabhängiger unter den konstanten Vektoren b , b , . . ., b mit der Maximalzahl Hnear unab-

hängiger unter den Formen

g { x , A, n_^), g (т, А, n^), .,., g (т, А, п^

überein . Die zuerst genannte Maximalzahl hängt ersichtlich nur von dem Nummernvektor n (und der Spitze t), nicht aber von der Auswahl des vektors q(T) über (£ ab.

Es sei z cz^, es seien s , s , ..., s komplexe Zahlen. Wir schreiben

s = s

( л )

= {s^, s^, ...,s^ und

( 137 ) 0(t, z, s, A) = {Qir, z, s^, A), Q{r, z, s^, A), ..., Q{t, z, s.^,A)}.

Dann ergibt (129):

( cï { t ) , £)(r, z, s, A)) = {(<p.{r),ü{t, z, s^, A))) = e^(q>.{{Г,А}, -Щ)

= % M{\,^}, ~% qfiÇ, A], -z), ..., ц({ё1. А), ~ Щ,