über die ganzen Lösnngen

einer gewöbnlichen Differentialgleichung

erster Ordnung.

Von Franz RelHch in Druden.

Wenn eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung nach der höchsten Ableitung aufgelöst ist und die Koeffizienten der Differentialgleichung im Endlichen nirgends singular werden, dann sind auch alle Lösungen im lichen ohne Singularitäten; das hängt damit zusammen, daß alle Lösungen einer linearen Differentialgleichung sich aus endlich vielen Lösungen durch Linearkombination aufbauen.

Bei niehtünearen Differentialgleichungen ist das anders. So ist die rechte

Seite der Differentialgleichung ^ = У^ (im Endlichen) nirgends singular,

aber nur die Lösung «/ = 0 ist eine ganze Funktion, alle anderen Lösungen

sind von der Form у = ——, haben also im Endlichen eine Singularität,

Für partielle Differentialgleichungen sei an die Gleichimg der MinimalQächen (1 -f 2^ ) Za; ж — 2 ^a; 2j, z^y + (1 + 2|) z^y = 0 erinnert. Nach S. Bernstein sind die einzigen ganzen Lösungen dieser Gleichui^ die Funktioneil z ~ ax -\-by ^ c. Auch der Satz von Hubert, wonach jede Fläche konstanter negativer Krümmung Singularitäten aufweist, kann hier geführt werden.

Danach scheint es sinnvoH, nach Sätzen zu suchen, die für nichtlineare, singularitätenfreie Differentialgleichungen sicherstellen, daß ihre Lösungen ,Дт allgemeinen" Singukritäten anweisen, und zu versuchen, die Gesamtheit der ganzen Lösungen anzugeben.

Im folgenden geschieht das für den einfachsten FaU, nämlich für gewöhn- Uche Differentialgleichungen «ester Ordnung, in der wir die gesuchte Funktion alg analyti^he Funktion der komplexen Veränderiichen ж auffassen. Es wird

bewi^en : In der Differe^tiaigldoÎMmg--^^= f{x, y) &d j{x, y) eme fm Mh

a> , y konvergent Pc^i&feiàe mit komfhxen KmffizimUn. Wemm es dann zwei