Axiomatischer Aufbau der Kreisgeometrie

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beziehungen auf S. 367 und viele weitere Ratschläge ist der Verfasser R. Fuech zu Dank verpfHchtet, ferner B. L. van der Waerdbn für verschiedene weise, insbesondere zu § 4.

§ 1. Axiome

Es seien uns zwei Mengen von Dingen gegeben; die Elemente der einen nennen wir Punkte und bezeichnen sie mit P, Q, . . . ; die Elemente der anderen nennen wir Kreise und bezeichnen sie mit k,l, . . . .

Zwischen Punkten und Kreisen seien zwei Beziehungen definiert, eine Inzidenzbeziehung: ,,P liegt auf k'' (auch: ,,k geht durch P", ,,P ist ein Punkt von k" usw.) und eine Orthogonalitätsbeziehung : ,,ä; ist orthogonal zu k''\

Axiom 1 (Inzidenz)i*)

a ) Es gibt einen Punkt und einen Kreis, so daß der Punkt nicht auf dem Kreis liegt.

b ) Auf jedem Kreis liegen mindestens drei Punkte.

c ) Zu drei verschiedenen Punkten gibt es genau einen Kreis, auf dem die Punkte liegen.

d ) Durch einen Punkt auf einem Kreis und einen nicht auf dem Kreis liegenden Punkt gibt es einen eindeutig bestimmten zweiten Kreis, der mit dem ersten nur einen Punkt gemeinsam hat.

Definition 1. Wir sagen: Zwei Kreise schneiden sich, wenn sie mindestens einen, sie berühren sich, wenn sie genau einen, und sie meiden sich, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben. Einen gemeinsamen Punkt zweier Kreise nennen wir Schnittpunkt, im Falle der Berührung auch Berührpunkt.

Axiom 2 (Orthogonalität)

a ) Ist k' zu к orthogonal, dann ist auch к zu k' orthogonal.

b ) Ist k' zu к orthogonal, dann schneiden sich к und k'.

c ) Ist ein Kreis zu zwei sich berührenden Kreisen orthogonal, dann geht er durch deren Berührpunkt.

d ) Sind zwei verschiedene Kreise gleichzeitig zu zwei sich meidenden Kreisen orthogonal, dann schneiden sie sich.

e ) Liegt P auf к und ist Q ein beliebiger von P verschiedener Punkt, dann gibt es durch P, Q genau einen zu к orthogonalen Kreis.

f ) Sind P, Q, В drei beliebige verschiedene Punkte, dann gibt es durch В genau einen Kreis, der zu allen Kreisen durch P, Q orthogonal ist.

Axiom 2a) gestattet die Bezeichnung: к und k' sind zueinander orthogonal. Ist P ein Schnittpunkt von к und k' [Axiom 2b)], dann sagen wir manchmal zur näheren Bestimmung : k' ist zu к in P orthogonal.

Man ersieht aus Axiom 2f ) : Ein Kreis ist niemals zu sich selbst orthogonal. Ferner ergibt Axiom 2e) sofort:

( * ) Zwei Kreise, die zu einem vorgegebenen Kreis in demselben Punkt orthogonal sind, berühren sich.

^ * ) Axiom la)—d) ist mit den Axiomen I—V von vak der Waebdbn-Smid [12] äquivalent.