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Reinhold Remmert:

wird . Hierher gehören z. B. Arbeiten von Blumenthal [2] und Osgood ([9], p. 603); vor allem aber die Untersuchungen von W. Thimm ([22, 23, 24] sowie die dort weiter zitierten Arbeiten). Gerade durch ein intensives Studium der Unbestimmtheitsstellen war es W. Thimm möglich, seine hängigkeitssätze zu beweisen.

In [12] (vgl. auch [14]) wurde gezeigt, daß im Hinblick auf Fragen, wie sie hier interessieren, ein näheres Eingehen auf die Natur der stimmtheitsstellen nicht unbedingt nötig ist. Es gilt nämlich :

Satz 3: Sind in einem zusammenhängenden komplexen Raum X meromo?- phe Funktionen Д,...,/ä; mit der Unbestimmtheitsmenge N gegeben, so gibt es einen komplexen Raum 'X mit folgenden Eigenschaften:

a ) 'X ist eine eigentliche Modifikation von X, d. h. es gibt eine eigentliche^), holomorphe Abbildung тс von 'X auf X, die außerhalb einer in 'X analytischen Menge 'N ^ 'X umkehrbar ist. Es gilt: N = n{'N).

b ) Der durch die Gleichung n*(f(x)) ='f{'x) = f о л('х) definierte morphismus Л* des Körpers K{X) der in X meromorphen Funktionen in den Körper K{'X) der in 'X meromorphen Funktionen ist ein Isomorphismus von K{X) auf K{'X). Die Funktionen 'f^= f^o ж, x = 1, . . ., k, haben keine bestimmtheitsstellen in 'X,

c ) Zwischen den zu den Funktionen /i, . . ., /& ^^^ 7i? • • -/fk gehörenden holomorphen Abbildungen r : X — N->C^ und 'r :'X->Ü^ bestehen folgende ziehungen:

'r ( 'x ) = r07t{'x) für 'x eX—'N; r('r) = r(r), r(X-N) С 'r('X) С r(X — N).

Ein ausführlicher Beweis dieses Satzes findet sich in [14], hier sei nur bemerkt, daß 'X im wesentlichen der im Produktraum X x C^ gelegene Graph der Abbildung т ist^^).

Satz 3 sagt — grob gesprochen — aus, daß man die Unbestimmtheits- stellen von endlich vielen in einem komplexen Raum X meromorphen tionen simultan eliminieren kann, wenn man X in den Unbestimmtheitsstellen geringfügig abändert (modifiziert). Der Raum 'X spielt im folgenden eine besondere Rolle; wir nennen ihn einen zu den Funktionen /i, . . ., /fc gehörenden komplexen Raum und entsprechend 'r eine zugehörige Abbildung. Man kann im übrigen durch eine naheliegende weitere Forderung erreichen, daß 'X bis auf analytische Äquivalenz eindeutig bestimmt ist.

§ 2. Algebraische und analytische Abhängigkeit meromorpher Funktionen. Beweis des Satzes von Thimm

1 . Es sei X ein komplexer Raum, /i, . . ., /& seien meromorphe Funktionen in X. Mit P sei die Vereinigung der Polstellenmengen der Funktionen /i, ..., /^ bezeichnet ; P ist eine analytische Menge in X. Wir definieren (vgl. auch [20]) :

^ ) Eine stetige Abbildung heißt bekanntlich eigentlich, wenn die Urbilder kompakter Mengen stets kompakt sind.

^® ) Zu Satz 3 vgl. auch [12], § 7; zur allgemeinen Theorie der Modifikationen siehe etwa [7].