RÖHRL , H.

Math . Annalen, Bd. 133, S. 1—25 (1957)

Das Rîemann-Hîlbertsche Problem der Theorie der linearen Differentialgleichungen

Von Helmut Bohbl in München

Einleitung

1 . Ist ein System-T-^ = 2J ^ц(^)Уэ^ г = 1, . . ., ?г, von linearen homogenen

Differentialgleichungen 1. Ordnung mit rationalen Koeffizienten gegeben, so sind ihre Lösungen bekanntlich im allgemeinen nicht in der vollen kugel P^ eindeutig und meromorph. Jede einzelne Lösung besitzt jedoch nur endhch viele isoherte Singularitäten; als solche Singularitäten kommen in Frage die Polstellen x-^, . , ., x^. der Koeffizienten Ei^iz) und evtl. der Punkt, a;jj== oo. Bilden die Lösungen X)i — (уц(г), . . ., УпЛ^))^ i—\,...,n, ein damentalsystem von Lösungen, so geht bei Umlauf um die singulare Stelle x^ der Vektor X)i über in einen Vektor Za^^ 9^ ; dabei ist die Matrix Sl^**) : = {af^) nicht singular und es besteht die sog. Riemannsche Relation 21^®) •.... 2l(fe) = 1. Diese Riemannsche Relation bedeutet nichts anderes, als daß jedes damentalsystem Pi, . . ., î)n von Lösungen einen Homomorphismus der damentalgruppe von P^~ {Xq, . . .,Xj^ in die allgemeine lineare Gruppe OL{n,C) über dem Körper der komplexen Zahlen induziert.

2 . Bereits im Jahre 1857 warf B. Riemann [21] das Problem auf, ob gekehrt auch zu jedem Homomorphismus der Fundamentalgruppe von P^— {Xq, . . ., Xjç} — Xq, , . ., Xjc seien beHebig vorgegeben — in OL{n,0) ein System von n Hnearen homogenen gewöhnUchen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit rationalen Koeffizienten gehört, welches ein system von Lösungen besitzt, das diesen Homomorphismus erzeugt. Darüber hinaus verlangte Riemann noch, daß das Differentialgleichungssystem vom Fuchsschen Typ (vgl. Vorbemerkungen) sei. Im selben Jahre [20] hatte er dieses Problem für k^n = 2 bejahend beantwortet und Fundamentalsysteme der gewünschten Art exphzit angegeben. In der Folgezeit haben sich u. a. H. P01NCARÉ [19] und L. Schlesinger [23,24] mit dem Riemannschen Problem eingehend befaßt. Die von ihnen angegebenen Beweise sind jedoch sehr lückenhaft und vom modernen Standpunkt aus nicht exakt. Auf diese Tatsache wies bereits J. Plemelj [18] hin, der selbst im Jahr 1908 [17] den ersten im wesenthchen einwandfreien Existenznachweis für beliebiges к Uütid n lieferte. Schon 1900 hatte D. Hilbebt das Riemannsche Problem unter seine Mathematischen Probleme [9] aufgenommen (man spricht seither vom Rie- mann-Hilbertschen Problem); 1906 wurde von D. Жхьвжвт [10,11] der FaH

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