Das Riemann-Hilbertsche Problem

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sich leicht überlegt — dieser Punkt wird im folgenden nicht näher ausgeführt — läßt sich mit Hilfe von Satz 3 und Satz 4 auch die sinngemäß auf beliebige Riemannsche Flächen übertragene Birkhoffsche [2] Verallgemeinerung des Riemann-Hilbertschen Problems im bejahenden Sinne beantworten: dazu hat man nur anstelle des Cozyklus |^ einen entsprechend abgeänderten zu setzen. Bekanntlich leisten die Sätze 3 und 4 noch wesentlich mehr. Satz 3 enthält z.B. den Weierstraßschen Produktsatz für behebige nicht kompakte sche Flächen und Matrizen (statt Funktionen), ein Ergebnis, das im Falle der Zahlenebene bereits von G. D. Bibkhoff [3] bewiesen wurde, Satz 4 ist noch aus folgendem Grunde von Interesse. Bekanntlich verliert der Weierstraßsche Produktsatz auf kompakten Riemannschen Flächen seine Gültigkeit. Doch bleibt (wegen Satz 4) die Aussage richtig: ist X eine kompakte sche Fläche, x^,..., Xj^ eine Punktmenge auf X und sind fi(x),..., fjc(x) Funktionen, die in geeigneten reduzierten Umgebungen von x^

bzw . лТд... bzw. Xj^ meromorph sind, so gibt es eine auf X — {a;i___,x^}

meromorphe Funktion f(x), für welche f(x)f~^(x),K==l,...,k, morph in x^ fortsetzbar ist.

Dies ist offensichtlich die sinngemäß auf kompakte Riemannsche Flächcn übertragene Formulierung des Weierstraßschen Satzes. Da Satz 4 auch für algebraische Mannigfaltigkeiten seine Gültigkeit behält, gelangt man wie eben zu einer sinngemäßen Übertragung des Cousin-II-Problems auf algebraische Mannigfaltigkeiten; man sieht, daß — im Gegensatz zum Cousin-II-Problem für holomorph vollständige Räume — hier das übertragene Cousin-II-Problem uneingeschränkt Lösungen zuläßt.

Die Frage nach der Abhängigkeit der Lösungen von den punkten wird mit ähnlichen Methoden wie das Riemann-Hilbertsche Problem selbst angegangen. Das Hauptresultat ist: läßt man die Verzweigungspunkte in einfach zusammenhängenden und paarweise fremden Gebieten variieren, so kann man stets Lösungen ^ des Riemann-Hilbertschen Problems angeben, welche meromorph von den Verzweigungspunkten abhängen. Hinsichthch der genauen Formulierung sei auf Theorem II verwiesen. Die hier benützten Methoden lassen sich auch bei einer Reihe von Fragestellungen, welche in einer Arbeit von 0. Teichmülleb [25] über veränderHche Riemannsche Flächen angeschnitten sind, mit Erfolg verwenden. AbschHeßend möge noch darauf hingewiesen werden, daß ähnHche Problemstellungen, wie sie hier handelt werden, bei gewissen Existenzfragen der Funktionentheorie mehrerer Veränderlichen auftreten.

1 . Torbemerkungen

Gegeben sei eine abstrakte Riemannsche Fläche X, von der wir stets voraussetzen wollen, daß sie zusammenhängend ist. Ferner sei ein System von n linearen homogenen Differentialgleichungen 1. Ordnung

( 1 ) (^D = Dß4^)

mit Q'{x) als einer Matrix vom Тзф (n,n), deren Komponenten auf X

1 *