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К . Wagner:

Offenbar unterscheiden sich die schwachen von den starken Ableitungen nur durch die Hinzunahme der Bedingung (II) von Definition 2. Jede starke Ableitung A von 95* in 93 ist gleichzeitig auch schwach relativ zu jedem Atom PQA. Die Umkehrung gilt dagegen nicht, wie später folgende spiele zeigen werden.

Wir setzen jetzt über 95 und 95*, mehr als bisher, folgendes voraus: Es sei 95 ein atomarer topologischer Mengenverein mit einem Nullsoma 0 und einem Einssoma E. Ferner sei 95* ein Unterverein von 93 mit den folgenden Eigenschaften^^) :

( 1 . ) Aus Ff ^95* und V^ 695 folge stets Ff n F* 695*,

( 2 . ) für jede monoton abnehmende Somenfolge F* ^ Ff 2 • • • 2 F* 2 * * *

aus 93* folge П Ff ^ 95,

v = l

( 3 . ) es gibt eine abzählbare Familie 93 =(^г)гб{1,2,...} von Somen В^^Я}, so daß zu jedem F*693* und jedem Element x ^E — Y^ stets ein В^^Ъ existiert mit B^ r\ T^ == в und x 6 B^^^),

( 4 . ) ^695*.

Dann folgt :

Hilfssatz 3. Zu jedem Atom P 695 gibt es je genau eine schwache Ableitung von 25* in 95 relativ zu diesem P,

Zum Beweis dieses Hilfssatzes nennen wir ein Soma >S693 stark gezeichnet, wenn es eine monoton abnehmende Folge von Somen ^„6 95* gibt mit :

OO СЮ

n S,=^ nS.^P nnd ^1= /Sfi3).

v=l v = l

Zunächst folgt, daß der Durchschnitt von zwei stark ausgezeichneten Somen S' und /S"' stets wiederum stark ausgezeichnet ist. Denn gemäß Definition von 8' und ;S^" folgt zunächst :

CXD ____ OO

D 8',=^n S12P mit S[ = S' und

n S^= n Sl'2P mit S['= S".

Setzen wir S!,r\Sl'= S^(v = 1, 2, . . .), so ist jedes S^ (als Durchschnitt der beiden ausgezeichneten S'^ und S'^') ausgezeichnet. Da beide Folgen 81, und 8^' monoton abnehmen, nimmt auch die Folge der 8^ monoton ab. Weiter folgt

^ * ) Wir nennen weiterhin ein Soma F 6 93 ausgezeichnet, wenn F 6 95* gilt.

1 * ) Die Bedingung (3.) besagt mit kurzen Worten, daß für die Komplemente E — F* (F*6 95*) eine abzählbare Basis in 95 existieren soll. Beispielsweise existiert eine solche Basis immer, wemi es für die sämtlichen offenen Somen von 93 eine abzählbare Basis gibt und für jedes F*C 95* gleichzeitig noch E — F*^ 95 gilt.

^ * ) Wir können hier kurz „stark ausgezeichnet" (statt: stark ausgezeichnet relativ zu P) sagen, da wir uns ein festes P gegeben denken.