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к . Wagnee:

schwache Ableitung A' von М^ in p^ relativ zu У gleich dem Winkelraum 0^9?^ 2/3 Ж. Liegt dagegen die Halbgerade У im Winkelraum 2/3 п^Ц)"^ ж, so ist die schwache Ableitung A" von Mi^ in p^ relativ zu h" gleich dem raum jr/3 ^ (p^n. Man sieht dann leicht, daß A' Г\А" (das ist der raum nß ^ (p^ 2/3 ж) die Bedingungen einer starken Ableitung von M^ bei Pq erfüllt.

( e ) Es Bei M^ die Menge sämtHcher Punkte (r ; 99) mit r ^ 0 für ç? == ^ • я, ^ irrational, mit r ^ 1/m für ср — ^-ж, ^ = n/m (reduziert) rational. Der tesimale Kern von Ж5 bei 2?o ist gleich der Ebene i^g. Dagegen sind die nicht trivialen Eukhdischen Ableitungen von M^ bei p^ die einzelnen Halbgeraden mit dem Anfangspunkt Pq^^).

§ 2. Ableitungen in separablen Bäumen

Es seien R und R' zwei separable Bäume 1^). Von diesen sei R lokal pakt, JS' sei kompakt. Jedem Punktepaar p ^R, p' ^R' sei eine Punktmenge

( Jp^p' QR

zugeordnet . An jeder Stelle p^R sollen diese ар^^,'(р'^R') die folgenden Bedingungen erfüllen :

( I ) (Tp,3,' r\ Op^g' = {p} für je zwei Punkte p'^q'^ R\

( II ) и cr^,^'=i2,

( Ш ) Aus lim Î?; =:p' (?>Ui2' für v = 1,2, . , .; p'^R')

V—>oo

folge lim or^,^;;= 0*^,3,^ 17)^

V—>• 00

( IV ) Es existiere eine Umgebung üj^(p) mit: or^,p'А 5(C7(^)) Ц= 0 für jede Umgebung U(p) Ç Ui{p) und jedes p' ^ R'^^),

( V ) Es existiere eine Umgebung U^ (p) mit folgender Eigenschaft : Zu jeder Umgebung ü(p) gibt es eine topologische Abbildung t von R auf sich mit: t(U2(p)) Q U{p), t(p):=^p und t((y^^p^) = or^,^' für jedes p'Ç Д'.

Es sei G eine nicht leere Teümenge von R'. Wir nennen dann Ucr^,^)'

einen Sektor von R und bezeichnen ihn mit Op^c- Wir nennen p den Träger, 0 die Bezugsmenge des Sektors or^^ 0. Femer nennen wir {p} den Nullsektor (mit der Bezugsmenge 0). Wir nennen einen Sektor оГр,^ abgeschlossen bzw.

^^ ) Unsere Beispiele zeigen deutlich, daß wir anders vorgehen als [14], wo mit Hilfe von Rreiszylindem (beliebig kleiner Radien) und hierzu bestimmten Flächenverhältnissen gewisse eine Parameterfl&che 8 bei P approximierende Ebenen definiert und untersucht werden, vgl. [14], S. 46, Def. 1 und 2. Ebenfalls vgl. [1], S. 106 Relative differentiation. .., vgl. auch [2].

^• ) Wir schließen uns im folgenden der Bezeichnungsweise von [9] an.

^' ) Allgemein verstehen wir unter Mm Mp(Mp Ç R) die Menge derjenigen p^R, für

p—»■ 00 die e« zu J^ém ü{p) eine natürliche Zahl n gibt mit Jf^ л Î7(p) ф О für jedes v'^n.

^® ) Wir bezeichnen das Nullsoma mit @, dagegen die leere Menge mit 0.