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so ergibt sich mittels unserer Schlußweise analog ein U^^.i und ein И^v+l,^,^^l€ Ç 2ö,,+i mit : Uj,^i ÇU^r\ H^v+i.^^^i ^^^ ^^^® m-dimensionale Cantorsche faltigkeit Jf ^+1 mit :
Die monoton abnehmende Mengenfolge M^, Jfg, . . ., M^, . . . konvergiert wegen Jf^ÇTfy,^^ und Tf^,^^^^3B^(i'= 1, 2, . . .) nach genau einem Punkt p ^M. Aus der Kompaktheit sämtlicher M^ und wegen M^^-^ Ç M^ folgt
р^ПМ , , Wegen M,ÇU,g U,+^(v = 2, 3, . . .) folgt weiter
CX )
P^nu , .
Wegen С7^СТГ^^^^ erfüllen unsere ^7^, î/g, . . . die Bedingungen einer Fun- danlentalfolge von p.
Nun ist aber unter der Voraussetzung m ^ 2 jedes M^— {p} hängend, da nach Definition der Cantorschen Mannigfaltigkeit jedes M^, nach Tilgung des (wegen m ^ 2) höchstens (m — 2)-dimensionalen {p} hängend bleibt. Folglich ist jedes M^(v = 1, 2, . . .) eine Teilmenge einer bestimmten lokalen Komponente L^ von M bei p relativ zu U^. Hiermit ist der Satz 2 unter der Voraussetzung m ^ 2 bewiesen.
Es sei jetzt m = L Dann existiert zunächst nach dem theorem von Menger-Urysohn ein Teilkontinuum von M. Wenn wir jetzt noch zeigen können, daß bei jedem p eines Kontinuums eine lokale ponente des Kontinuums relativ zu jedem U(p) existiert, so folgt hieraus offenbar für m = I die Behauptung von Satz 2. Zum vollständigen Beweis von Satz 2 brauchen wir also nur noch den folgenden Hilfssatz zu beweisen :
Hilf s 8 atz: Ist M ein Kontinuum von R und ist ferner U(p) = U eine Umgebung von p ^ M, so gibt es eine lokale Komponente von M bei p relativ zu U,
Zum Beweis betrachten wir die Komponenten von
Мгл ( и~ { р } ) .
Ist unser p ein Häufungspunkt von (mindestens) einer dieser Komponenten, so ist diese mit Hinzunahme von p eine lokale Komponente von M bei p relativ zu U, Wir dürfen daher im folgenden p ^L für jede Komponente L von Mr\{U — {p}) voraussetzen. Ferner dürfen wir Mr\(R — U) + 0 voraussetzen, da der Hilfssatz, wenn er für eine Umgebung U' (p) Q U wiesen ist, dann auch für ü folgt. Wir denken uns nun eine M erzeugende Doppelfolge 9B von offenen Punktmengen TFy,^(*' ==1,2,...;/^=!, ..., m^,) gegeben. Es sei 38„ 4ie Gesamtheit der W^^^^ mit // = !,..., m^. Wir nennen eine endliche Folge von Punkten q^, , . . , qi eine Kette der Feinheit 20^, wenn es zu jedem A = 1, . . . , Ï — 1 ein îFy,^i69B^ gibt mit q^Çx+i^W^,^, Es sei T eine Teilmenge von M. Wir sagen a,b ^T lassen sich in T durch liebig feine Ketten verbinden, wenn es zu jedem i^ = 1, 2, . . . eiae Kette g^, . . . , gj mit gi= a, gj== Ъ und qxiT{X == 1, . . ., i) der Feinheit 9!B„ gibt.