EBNST - AuaxTST Behrens:

band wird nun in § 3 benutzt, um unter der Voraussetzung, daß о ein element besitzt, zu zeigen, daß jene hinreichende Bedingung äquivalent damit ist, daß 0 im Sinne von Smiley [7] (vgl. auch Bbheens [2]) halbeinfach, d. h. direkte Summe einfacher Ringe mit Einselementen ist. Hieraus ergibt sich dann ohne weiteres, daß eine n. a. Algebra endlichen Ranges über ihrem Grundkörper genau dann halbeinfach im Sinne von Smiley ist, wenn sie nur idempotente Ideale enthält.

§1

1 . Die verbindungsirreduziblen Elemente i eines endhchen, distributiven Verbandes $) mit den Operationen \j und r\ bilden eine Halbordnung § (vgl. Hebmes [6]), falls man i^ С h (Ч früher ц) durch i^ \j 12= 12 erklärt. Die Relation „früher" ist demnach reflexiv, transitiv und genügt dem Gesetz der Identität: wenn i^ С ^2 ^nid h С iv dann ii= ig. — Umgekehrt ist jeder endUche distributive Verband 5> durch die in ihm enthaltene Halbordnung -§ seiner \j -irreduziblen Elemente eindeutig bestimmt, denn jedes Element von 5> ist Verbindung endlich vieler Elemente aus §, und die Gleichheit zweier solcher Verbindungen ergibt sich daraus, daß ein Element l aus § dann und nur dann früher als eine Verbindung а von Elementen aus -§ ist, wenn { früher ist als mindestens eines dieser Elemente aus $ (vgl. Bibkhoff [3], Kap. IX, § 4).

Zur Aufzählung aller endUchen Halbordnungen § gehe ich folgendermaßen vor: Wenn $ aus s Elementen besteht, numeriere man diese so, daß in der Folge ij, ig, . .., ig niemals ein echt späteres Element vor einem früheren steht, daß also aus i^ G ii immer folgt к < l. Nun sei H =(7/^^) eine s-reihige HaïbdiagormlmaÂrix, in der ri^j^^l ist, falls \ С h^ ^^ Vtk — ^ sonst ; sondere sind also alle ri^^— 1. Auch das Quadrat H^ = (я^fc) der Matrix H ist eine Halbdiagonalmatrix mit lauter nicht negativen, ganzrationalen Zahlen als Elementen. Aus

für i ^k folgt, daß H^ dieselbe NuUenverteilung wie H hat. Ist nämlich î^^j,= 1, dann ist wegen rjj^jc^l der letzte Summand in (1) ebenfalls gleich 1 und damit die ganze Summe positiv. Ist andererseits тг^ & > 0, dann existiert mindestens eine Zahl j zwischen i und к derart, daß t;^^ = t^^^j. = 1 und damit ii С ii С ifc ist. Auf Grimd der Transitivität der Halbordniingsrelation ist dann auch i, С ijfe, abo ^^j^. == 1. — Ist umgekehrt H = (rj^^) eine Halbdiagonalmatrix, deren Elemente rj^j^ gleich 0 oder 1 sind, wobei alle f]^i=l und die rj^j^^O für i > к seien, und hat femer H^ dieselbe Nullenverteilung wie H, dann ist die durch UChy ^^^ ^ife— 1> in der Menge der Symbole i^, {3, • .., ig nierte Relation eine Halbordnui^srelation. ri^i=^\ zieht nämlich die Re- flexivität nach sich ; aus l^ С i^ С h folgt t^t ^ == ^s- i = 1, also i=^k\ die tivität schließlich ergibt sich w^en der Voraussetzung über № wieder aus (1). Man sieht leicht ein, daß die an der Nebendiagonale von H gespiegelte Matrix die zu S^ duale Halbordnung definiert, doch wird dies im folgenden nicht gebraucht.