Remmeet , R.

Math . Annalen, Bd. 133, S. 328—370 (1957)

Holomorphe und meromorphe Abbildungen komplexer Räume

Von Reinhold Remmert in München*

Einleitung

1 . Der Begriff der holomorphen Abbildung stellt eine naturgemäße allgemeinerung des Begriffes der holomorphen Funktion dar. Eine in einem komplexen Raum X erklärte holomorphe Funktion w = f{x) hat bekanntlich folgende Eigenschaften^) : a) f{x) definiert eine stetige Abbildung f : X-^ C^ des Raumes X in die komplexe ги-Шуепе, b) ist g {w) eine beliebige holomorphe Funktion in einem Bereiche BqC^, so ist g{f{x)) eine holomorphe Funktion im Bereiche f~^(B)CX^). Diese Eigenschaften von f{x) sind für die Holo- morphie von f(x) in X charakteristisch; jede Abbildung f :X-^C^y die den angegebenen Bedingungen genügt, wird durch eine in X holomorphe Funktion f{x) gegeben.

Es ist nun naheUegend, in der allgemeinen Theorie der komplexen Räume die SonderroUe, die den komplexen Zahlen in der klassischen theorie als Wertebereich zukommt, aufzuheben und auch solche ,,holomorphe Funktionen'* zu untersuchen, deren Werte ebenfalls in einem komplexen Raum liegen. Genau das wird durch die Begriffsbildung der holomorphen Abbildung geleistet. Die Definition lehnt sich eng an die obige sierung der holomorphen Funktionen an; man sagt (vgl. hierzu auch [6] Exp. III, sowie [14], p. 425):

Eine holomorphe Abbildung r : X-> Y eines komplexen Raumes X in einen komplexen Raum Y ist eine stetige Abbildung, die der folgenden sog. Holomorphie- bedingung genügt: Ist g(y) eine beliebige holomorphe Funktion in irgendeinem Bereiche В CY, so ist gor (x) eine holomorphe Funktion im Bereiche r'~^(B)CX.

Holomorphe Abbüdungen spielen in der neueren Funktionentheorie, z. B. in der Theorie der Modifikationen und in der Theorie der analytischen legungen, eine wichtige RoUe^). Es scheint daher wünschenswert, diese Ab-

* ) Gewisse Resultate der vorliegenden Arbeit (z. B. Satz 17 und 18 über die artungsmengen sowie Satz 23) wurden für komplexe Mannigfaltigkeiten vom Verf. bereits 1954 in mm&v Dissertation (Univ. Münster) bewiesen. Vgl. hierzu auch [17] sowie [14].

^ ) Der Begriff des komplexen Raumes sowie die sich unmittelbar anschließenden Begriffe wie „holomorphe Funktion", „analytische Menge" usw. werden in § 1 definiert. Es sei angemerkt, daß in der vorliegenden Arbeit nur komplexe Räume im Sinne von H. Cabtan [6, 7] betrachtet werden.

* ) Ist Br\f(X) leer, so ist diese Bedingung leer.

* ) Vgl. hierzu etwa [10] sowie [18].