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Reihhold Remmbbt:

^tz 22: Ш T : -X" -> Г eine holomorphe Abbildung und gibt es zu jedem Punkt у € r(X) eine Umgebung V(y) sourie eine in X kompakte Menge Xy С X, derart, daß jede rein-dimsnsionale Komponerde einer jeden Faser r~^(t(x)), r{x) € V(y), in Xy eindringt, so ist t(X) eine lokal-analytische, r^(Xy)'dimensio- nah Метгде in Y, Ist X zusammenhängend, so ist r (X) rein r^ (X^ydimen^ sional und irreduzibel^^).

Beweis : Da nach Voraussetzung jeder Punkt у ^ r(X) eine Umgebung V{y) besitzt, derart, daß r{X) r\ V(y) das Bild einer kompakten Menge XyCX ist, braucht man für das Studium von r(X) r\ V(y) nur diejenigen endlich vielen zusammenhängenden Komponenten von X heranzuziehen, die mit Xy Punkte gemeinsam haben. Alsdann kann man aber offenbar sogar ohne kung der Allgemeinheit annehmen, daß X selbst zusammenhängend ist.

Wir führen nun vollständige Induktion nach der Dimension n von X. Die Behauptung ist offensichthch richtig für тг, = 0 ; sie sei bereits für alle (nicht notwendig zusammenhängenden) Räume, deren Dimension kleiner als n ist, bewiesen. Es sei r= r^(X). Die Entartungsmenge E von r ist nach Satz 18 eine höchstens (n — l)-dimensionale analytische Menge in X. Es sei (E*, e) der komplexe Überlagerungsraum von E und r* = roe: ^*-> Y die т sprechende holomorphe Abbildung von E* in Y. Ist у^т*(Е*) irgendein Punkt, so sei V(y) die diesem Punkt gemäß der Voraussetzung des Satzes geordnete Umgebung und XyCX die entsprechende kompakte Menge. Da offenbar auch ХуГ\Е kompakt ist und e den Raum E* eigentlich auf E bildet, ist also E* =: е~^(ХуГ\Е) eine kompakte Menge in E*. Jede rein- dimensionale Komponente F* einer jeden Faser т*~^(т*(ж*)), т*(а:*) Ç V(y), dringt in E* ein; denn e(jP*) ist eine rein-dimensionale Komponente von r~^(r(x)),r(x) € V(y), und hat also nach Voraussetzung mit Xy Punkte meinsam. Es sind somit für r* : E*^ Y die Voraussetzungen des Satzes füllt. Da E^ höchstens {n — 1)-dimensional ist, ist daher nach voraussetzung t*(jE7*) == T(i^) eine lokal-analytische Menge in X. Die mension einer jeden Faser von т* ist stets um mindestens 1 größer als die minimale Dimension der Fasern von r; es gilt somit: r*{E*) ^ r — 2. Daher ist %(E) tiberall höchstens (r -- 2)-dimensional.

Wir zeigen nun, daß t(X) in jedem Punkt von Y — r(E) |i,nalytisch und rein r-dimensional ist. Sicher gibt es überhaupt solche Punkte. Da nämlich T auf X — E nirgends entartet und vom Bange r ist, gibt es nach Satz 19 zu jedem Punkt x ^X — E eine Umgebung U(x)CX — E, derart, daß r(U(x)) eine rein f-dimensionale, lokal-analytische Menge in Y ist. Eine solche Menge kann aber nicht in der höchstens (r — 2)-dimensionalen, lokal-analytischen Menge t(^) enthalten sein. — Sei also y Ç: Y — r(E) ein beUebiger Punkt von t(X). Es gibt eine Umgebung W(y), die keinen Punkt von t(E) enthält. Wäre d^ nämlich nicht der FaU, so gäbe es eine Folge y^^ r(E), die gegen y konvergiert. Nach Voraussetzung haben dann fast alle y^ ein Urbild x^ in

* * ) Man beachte, daß in Satz 22 vorausgesetzt wird, daß jede rein-dimensionale Faser- komfionaite in X^ eindrillen soü. In Satz 21 wurde dies nur für die Fasern schlechthin geordert.