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RicHABD Wagner:

nichtisotrop und haben gleiche Ö-Signaturen. Daher kann X nach X^ portiert werden durch eine Involution in L^ mit den Fixpunkten Z und Q(Z), wobei Z bezüglich Q nichtisotrop ist. Nun ist lediglich noch zu überlegen, daß die ф-Spiegelung t^+^ die genannte Involution in U induziert, und das folgt aus

( D + Z)r\l?==Z+ (DnL^) = Z;

q3 ( D + Z)^Q,[K,n(D + Z)]=Qd(K,r^D) + Z] = ^(D)глQ,{Z) ; ^(D + Z)r\L^:=^^(D)r\QAZ)r\L^^ L^r\Q;^(Z) ^ Q(Z),

Die Involution t^+^ läßt D = H'^~^ punktweise fest und transportiert Znach X^, also H^ nach H^. Der Transitivitätssatz ist damit bewiesen.

Wir ziehen einige Folgerungen. Die Menge der nichtisotropen elemente zerfällt natürlicherweise in endlich viele Teilmengen, die je durch eine feste Signatur gekennzeichnet sind und bei der Gruppe E je auf sich . abgebildet werden. Der Satz (6.4) besagt, daß Z auf jeder dieser Mengen transitiv ist. Eine 27 umfassende Gruppe ß vermag, wenn sie Transformationen mit nichttrivialen Charakteren enthält, gewisse Permutationen der Rieht- elementmengen zu leisten; die Charaktergruppe von ß gibt hierüber jeweils erschöpfende Auskunft.

Die Charaktergruppe von / fällt nach (4.10) bereits mit der vollen raktergruppe X zusammen. Das hat zur Folge, daß je zwei nichtisotrope Richtelemente, wenn vermöge 77, dann auch schon vermöge / ineinander übergeführt werden können. Hieran knüpft sich der Beweis zu {Ъ.Ь) Existiert zu einer Gruppe ß mit ЕС^СП ein B-reguläres Richtelement, so gilt ß С /.

Beweis . 6 sei ein ß-reguläres Richtelement. Nach der Bemerkung zu (6.3) ist es jedenfalls ф-nichtisotrop und seine Invarianzuntergruppe Hegt in E, Bei behebigem а Ç ß hat cf? den Einscharakter; für passendes у ^ E bleibt also 6 bei у a^ ^ ß fest. Es folgt

а^б E\ /4(a) ={!.•• •. 1}; /Wçp(a) 6 X; a Ç /, wie behauptet.

Eine Folgerung hieraus ist die bei (6.2) angedeutete Behauptung, daß die Gruppen П und / genau dann zusammenfallen, wenn das Polarsystem ф eingliedrig ist, d. h. aus einer einzigen, nichtausgearteten Polarität besteht. Die Notwendigkeit der Bedingung war bereits erkannt. Ist aber ф eingliedrig, so hat (vgl. 6.2) jedes nichtisotrope Richtelement die Eigenschaft der i7-Regu- larität. Nach (6.6) hat das i7= / zur Folge.

Schließlich können wir jetzt auch zeigen, daß E nicht nur im Kern П^ des Multiplikatorhomomorphismus enthalten (vgl. 4.09), sondern sogar mit ihm identisch ist. Auf Üq ist nämlich der Regularitätssatz (5.2) anwendbar und daraufhin auch die Schlußweise aus dem Beweis zu (6.5), nach der П^ in iT liegt.

Insbesondere erhalten wir nach dem bekannten Isomorphiesatz

ЦЕ^Х .