Charakterisierung harmonischer Funktionen 73

punkt von T-gF := F{x,t -}- s) für 5 -> oo ist, d. h. falls zu jedem Kompaktum KcR^ X (0, Ô), e> 0 und iV^ > 0 ein s > Max(N, a) existiert, so daß

f\r^ , F—G\dxdt<e , к

Anschaulich gesprochen heißt dies, die Funktion F{x,t) hat für t-^00 immer wieder Streifen der Form R^ x (s^, s^-{- ö), auf denen sie sich weise wie G verhält, und zwar um so genauer, je weiter man ins Unendliche kommt.

Hilfssatz . Ist F(x,t) ^ LJq^ÇR'^ X (a, 00)) im Distributionssinn Lösung der Euler-Poisson-Darboux-Gleichung

( 6 ) A,F-~F,,= jF, auf B^x(a,œ)

( с fest komplex, l^n), und besitzt F(x,t) im Unendlichen die Funktion G{x,t) als o-Häufungspunkt, so genügt G im Distributionssinn der Gleichung

( 7 ) A^G-G,,= 0 auf i^» x (0, Й) .

/ 5^ с Ф 0 und G von der Form т_ s^F, s^ fest ^ a, so ist G konstant in t und nisch in X, d. h, es existiert eine überall im E^ unendlich oft differenzierbare Funktion g (x) mit

G ( x , t) = g(x) f. ü. auf i?" x (0, ô) und A^g = 0 überall im R'^.^)

Beweis : Sei 9p (ж, ^) eine feste, unendliche oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger KcR^ X (0, ô). Nach Voraussetzung gibt es zu diesem К

eine Folge reeller Zahlen s^-^ 00, so daß / \F(x, t -\- s^) — G(x,t)\ dx dt->0 .

к Damit gilt dann aber an der Stelle 99 (die Distribution т_ ^ T ist dort definiert als

{ r^ , T ) (cp) := T(r,(p) = T{(p{xJ-~s))) für r->œ r^sM^F) =AAr.,F)->A,G

к

К

Da (6) jedenfalls auch für т^ (p als Argument gilt, wenn nur v hinreichend groß ist, erhält man für v -^ 00

Aa . G— Gft= 0 an der Stelle <p .

Da (p beliebig war mit kompaktem Träger С i^" X (0, d), folgt der erste Teil der Behauptung des Hilfssatzes.

Ist nun Si^a und G = X-^F, so ist G Lösung von

A^G~G^ , ^j^^G^ auf R^x{a-s^,^) *) Im Falle n = 1 ist also g linear.