ТНОМА , 1.

Math . Annalen 141, 242--280 (1960)

Über imprimitive Darstellungen lokal-kompakter Gruppen

Von Elmar Thoma z. Z. in Seattle, Wash., USA

Einleitung

In [7]^) hat Mackey den Begriff der Imprimitivität von Darstellungen auf unitäre Darstellungen von lokal-kompakten Gruppen ausgedehnt und im wesentlichen die imprimitiven Darstellimgen mit einer Bahn betrachtet. Mit Hilfe dieser Theorie kann man die irreduziblen Darstellungen gewisser Gruppen, z. B. der inhomogenen Bewegungsgruppe des 7i-dimensionalen euklidischen Raumes E^, auf die irreduziblen Darstellungen einfacherer Gruppen führen. So erhält man eine Übersicht über gewisse, eventuell auch alle, valenzklassen von irreduziblen Darstellungen und kann Normalformen für die irreduziblen Darstellungen explizit angeben (vgl. [9], S. 131). In dieser Arbeit werden wir das Verfahren von Mackey in naheliegender Weise so nem, daß wir für gewisse Gruppen, z. B. für die inhomogene Bewegungsgruppe des En, eine Übersicht über gewisse Äquivalenzklassen unitärer Darstellungen (nicht nur irreduzibler) erhalten können (vgl. Teil.III dieser Arbeit). Wir führen dazu den Begriff des imprimitiven Systèmes einer lokal-kompakten Gruppe mit einer Produkt-Basis ein und geben eine Übersicht über alle Äquivalenzklassen solcher imprimitiven Systeme mit Hilfe der Darstellungsfelder einer gewissen Untergruppe Gq der Gruppe G an (vgl. Satz 3). Wir erhalten dabei zugleich Normalformen für diese Äquivalenzklassen. Falls Gq kompakt ist, können wir die Normalformen in einfacher Weise sogar auf die endlich-dimensionalen duziblen Darstellungen von Gq zurückführen (vgl. Satz 5).

Im Teil I dieser Arbeit betrachten wir einige Eigenschaften allgemeiner primitiver Systeme. Im § 1 werden die grundsätzhchen Definitionen angegeben und es wird gezeigt, daß jedes imprimitive System äquivalent zu einem tiven System der Form ((/г, ?i), U) ist, wobei der Darstellungsraum (/^, n) des imprimitiven Systèmes ein direktes Integral ist, mit dem das Spektralmaß des imprimitiven Systèmes in einfacher Weise verknüpft ist (vgl. Lemma 1). Im § 2 beweisen für den Fall imprimitiver Systeme mit regulärer Basis, daß man in den direkten Integralen (^, n) in den Punkten einer Bahn stets denselben Hilbert- Raum wählen kann.

) Zahlen in eckigen Klammem verweisen auf das Literaturverzeichnis.