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ElmabThoma :

III . Anwendungen

§ 9. Semi-direkte Produkte

Es seien 0 und T zwei separable, lokal-kompakte Gruppen. Ferner sei g-^hg ein Homomorphismus von G in die Gruppe der stetigen Automorphismen von T. (tf g) -> hg (t) sei eine stetige Abbildung von T xG auf T, Führen wir im topologischen Produkt ® = T xG eine Multiplikation durch (t, g) (f, g') = (thg{f), gg') ein, so erhalten wir eine lokal-kompakte Gruppe. © heißt direktes Produkt von T und G,

Im folgenden sei T stets abelsch und Ф sei die duale Gruppe von T, Ist T 6 ^, so ist rg mit {xg) (t) = r(hg {t)) ebenfalls aus Ф. Man beweist leicht, daß ^>д-^тд eine stetige Abbildung von Ф xG auf Ф ist, die (1) erfüllt, wenn man M durch f und 93jf durch den cr-Körper 93^ der Borelmengen von Ф ersetzt.

^ { { ^y 9) -^ ^u, g)) sei eine stark stetige, unitäre Darstellung von © mit dem Hilbert-Raum § als Darstellungsraum. W(g-^ Wg) bzw. V(t-^ Vf) sei die stellung von G bzw. T mit Wg= ü(^^g) bzw. Vt= C^(<,e) • Dann ist

( 29 ) E7(,„)=F,Tf,.

Da T abelsch ist, gibt es genau ein Spektralmaß (§, P) über Ът mit

( 30 ) (VtU, v) = f T(t) d(Pu, v) für alle u,v^Q .

Man rechnet leicht nach, daß (§, W, P) ein imprimitives System von G mit der Basis Ф ist. Der Beweis von (2) 4. verläuft z. B. folgendermaßen: ^ -> F;^^(i) ist eine Darstellung von G. Also gibt es ein eindeutig bestimmtes Spektralmaß P' mit{V^^^,)U,v)==fr(t)d(P'u,v). Wegen WgV.Wg-. = V^^u) gilHVn,U)U,v) ==fr(t)d(WgPWg-i u, v). Also ist P^ = WgPeWg-г. Andererseits gilt (Vn.it) %v)^f xQig(0) d{Pu, v)=f (rg) (t) d{Pu, v) ^ f r{t) d{P"u, v), faUs P'É = Peq-"^ gesetzt wird. Also ist P'É = P'e und daher WqPeWq-i^ Peq-^-

Ist umgekehrt (§, Tf, P) ein imprimitives System von G mit der Basis Ф, so liefert (30) eine Darstellung V(b-^ Vt) von T und (29) dann eine Darstellung von ®. Man erhält so eine ein-eindeutige Zuordnung zwischen den stellungen von ® und den imprimitiven Systemen von G mit der Basis Ф.

Man verifiziert leicht, daß äquivalenten Systemen äquivalente Darstellungen entsprechen, und daß einer direkten Summe von imprimitiven Systemen eine direkte Summe von Darstellungen entspricht. Insbesondere entsprechen ir- reduzible imprimitive Systeme irreduziblen Darstellungen. Eine Übersicht über die Darstellungen von ® erhält man also, wenn man eine Übersicht über die imprimitiven Systeme von G mit der Basis Ф angeben kann.

§ 10, Die Darstellungen der Überlagerurbgsgruppe der inhomogenen Bewegungs-

gruppe des R^ jRg sei der 3-dimensionale etiklidische Raum, d. h. die Menge aller reellen

Vektoren jC = I «a j mit der üblichen euklidischen Metrik. T sei die Menge der