Quotienten komplexer Räume

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{ Х , Щ sei ein komplexer Raum und L eine komplexe Liesehe Auto- morphismengruppe von (X, 2t). (X*, q) bezeichne die eindeutig bestimmte Normalisierung von (X, 2C). Nach Aussage d) von § 1 läßt X* genau eine normale komplexe Struktur Ш* zu, so daß die Abbildung q : (X*, 21*) ~> (X, 21) holomorph wird.

J^er Automorphismus v ^L induziert in eindeutiger Weise einen morphismus vm von (X*, 21*), und zwar so, daß gilt:

( 9 ) VOQ^QOV*.

Blit (X*, g) stellt nämlich auch (X*, v о q) eine Normalisierung von (X, 21) dar. Nach Aussage d) von § 1 gibt es dann eine topologische Selbstabbildung v* von X*, so daß t? о g == g о V* ist. Bezeichnet N die Menge der nichtgewöhn- liehen Punkte des komplexen Raumes (X, 21), so stellt v* per definitionem einen Automorphbmus von [X^^-Q-^iN), 21*(X*—^-^^^))) dar. Nach Satz22 und dem Korollar zu Satz 15 von [7] ist v* dann ein Automorphismus von ganz (X*, 21*). Die Menge aller so gewonnenen Automorphismen v* von (X*, 21*) bildet eine zu L isomorphe Gruppe i*, \vie man sofort sieht.

Jb * läßt sich auf natürliche Weise wieder als komplexe Liesche Gruppe fassen. Die Operationsabbildung Ф* : X* x X* -> X* ist per definitionem holomorph auf £* x (X* — Q^^iN)), nach den Sätzen 15 und 22 von [7] dann auch auf ganz i* x X*. Folglich stellt L* eine komplexe Liesche Automor- phismengruppe von (X*, Я*) dar.

Wir denken uns die Normalisierung (X*, q) eines komplexen Raumes (X, 21) stets mit der eindeutig bestimmten normalen komplexen Struktur 21* versehen und schreiben hierfür (X*, 21*)^. Es gilt die folgende Aussage :

Satz 25: Eine komplexe Liesche Automorphismengruppe L eines komplexen Шитее (X, 21) operiert genau dann lokal eigentlich (bzw. schwach lokal lich) auf X, wenn dasselbe für die zu L kanonisch isomorphe gruppe L* der Normalisierung (X*, 21*)^ von (X, 21) gilt.

Beweis : L operiere lokal eigentlich auf X, d. h. zu jedem Punkt a? Ç X gibt m eine Umgebung ü, so daß die Operationsabbildung 0:Lxü -> X eigentlich ist.Es genügt dann zu zeigen, daß auch die Opcrationsabbildung Ф* :i x t/*->X* mit U* :=s gr^(U) eigentlich ist. tj bezeichne den kanonischen Isomorphismus von i* auf L. TjXQ stellt dann eine eigentliche Abbildung von £* x U* auf LxUdar. Aus Gleichung (9) folgt:

( 10 ) QO0*^0(f)Xe).

Sei nun X* komimkt in X*, dann gilt für K:^ q-^(q(K*)): Ф*~Ч^) « (Ф*-*о ß-Ц о е(Х*) «(go Ф*)-*о (е{Х*)) ist kompakt in L* x U*, da f (X*) kompdkt in X ist und g о Ф* =« Ф о (^ X g) eine eigentliche Abbildung von If* X C^* in X darstellt, Ф*~*(Х*) liegt abgeschlossen in Ф*-*(А) und ist тшйЬ ebenfalls kompakt.

Operiert umgekehrt X* lokal eigentlich auf X*, so gibt es zu jedem Punkt Ж*СХ* eine Umgebung 17*, so daß die Abbildung Ф* :i* x l7*-> X* eigentlich ist. Es genügt wieder zu zeigen, daß für 17 « eiU*) die Abbildung