218 Karlheinz Spallek: Der Satz von Osgood-Hartogs in komplexen Räumen

( Das heißt, es gilt in x^ der Riemannsche Fortsetzungssatz bezüglich g-dimensionaler Mengen.)

Definition 11: Ein komplexer Raum X heißt in einem Punkt x^ vom Typ Я^, wenn gilt: Ist f eine komplexwertige Funktion in einer Umgebung U(x^), (U(x^); Zi(x), . . ., Zn{x)) eine Karte in x^ mit einer bezüglich dieser offenen Parallelenschar q-dimensionaler Ebenen {A^} und gilt für jedes A^y Ç {^|} : /1 ^| holomorph, so ist f in x^ holomorph.

Nach Satz 5 gilt nun :

Satz 6: Der rein r-dimensionale komplexe Raum X sei in x^ vom Typ Rr-iq+i)- Dann ist X in x^ vom Typ Hq.

Oder unter Benutzung von Satz III aus [4] :

Satz 7: X sei ein rein r-dimensionaler Raum. Ist & die Strukturgarbe von X und codha. о (9 ^ dimJT — q -\- 1, so ist X in x^ vom Typ Hq.

Spezialisieren wir auf q= 1, so hat man als Räume X vom Typ -ßdimz-2 z. B. die normalen und die perfekten Räume. (Die letzteren sind nämlich definiert durch cod^. о Ф — dim^. о X für alle x^.)

Zusatz bei der Korrektur. Mit dem Beweis zu Satz 5 läßt sich auch Satz 1 auf komplexe Räume übertragen. Sätze dieser Art sind Spezialfälle nerer Aussagen gleichen Typs über kohärente Garben, welche u. a. eine allgemeinerung von Kap. III auf nicht reduzierte Räume an die Hand geben.

Literatur

[ 1 ] Gbauert, H.: Ein Theorem der analytischen Garbentheorie und die Modulräume komplexer Strukturen (1960). Inst, des Hautes Études, Sc, Publ. Mathématiques, № 5, Paris I960.

[ 2 ] —, u. R. Remmert; Komplexe Räume. Math. Ann. 136, 245—318 (1958).

[ 3 ] Remmert, R.: Holomorphe und meromorphe Abbildungen komplexer Räume. Math. Ann. 133, 328—370 (1957).

[ 4 ] ScHEJA, G. : Riemannsche Hebbarkeitssätze für Cohomologieklassen. Math. Ann. 144, 345—360 (1961).

[ 5 ] — Eine Anwendung Riemannscher Hebbarkeitssätze für analytische klassen. Arch. Math. Vol. XII, 341—348 (1961).

[ 6 ] Spallek, K. : Zum Spurproblem holomorpher Funktionen auf analytischen Mengen. Schriftenreihe des I. Math. Inst. Münster, Heft 22, 1962.

[ 7 ] TmMM,W. : Über Moduln und Ideale von holomorphen Funktionen mehrerer Variablen. Math. Ann. 139, 1—13 (1959).

[ 8 ] — Untersuchungen über das Spurproblem von holomorphen Funktionen auf tischen Mengen. Math. Ann. 139, 95—114 (1959).

( Eingegangen am 2. АщиаЬ 1962)