Peter Dombeowski:

die kanonische Projektion, so

( 16 ) fi Je) : = (œ, Т7с(с)} für aUe с Ç TJT*M) .

Für alle г* Ç C°° (E, Щ und alle Z Ç J| folgt (mittels л о гр^= а) trivial :

( 17 ) dUß(i)oh(a) = iy)*iu)i (a) — (d{uoß))i (a) für aUe а $ T^J| und aus (17) und 3.12.(7) folgt sofort für alle a,â^yi:

( 18 ) dUß(^i)odh{aAa) = (гр* dfi)^ (a, ä) .

Bew . Da (14) eine rein lokale Aussage über J| ist und nach (8) die Abb h, also wegen 3.12.(3) auch dh, einzig mittels Tn, Та, T ß definiert ist, so genügt es nach 5.1.ii, die Aussage (14) für die Standardfaserung | von 5.1.ii zu fizieren. Für diese Faserung л: M x N -> M gilt nun (vgl. (6)) :

( 19 ) dh(a л a) = (Z^, I2, 0, a^iä^) — «3(01)) für alle a,â^yi.

Aus (13), (19) liest man aber unmittelbar die Gültigkeit von (14) ab. —

Bew . von (19) : Sind X, X zwei y-integrale Vektorfelder auf J| mit Xi== a und Xi = â, so gilt nach 3.12.(3), (4): dh(aAâ) = —h([X, X]i). Bezeichnet daher œ die auf J| definierte iV-wertige Differentialform vom Grade 1, so daß für alle w Ç:Ji gilt:

( 20 ) co^ (6) : = w^ (&i) — b^ für aUe b = T^J |, (vgl. (6)), so folgt aus (12):

( 21 ) dh{a л a) = (Zi, k, o, -œi{[X, l],)) .

Da X, X y-integral sind, so folgt aus (13), (20): co(X) = co(^) = 0, weshalb also, da für die j^-wertige DifferentiaKorm où die Cartansche Ableitung dm analog zu 3.3.(7') definiert ist, gilt:

( 22 ) -Щ{{Х, 1\) = (dco), (Z„ 1,) = {dœ\ (a, à).

Wir defiiüeren nun zwei neue, a und a extrapoHerende (7°°-Vektorfelder A, Ä auf J| durch (vgl. (6)):

( 23 ) A^ : = {w^, W2, w^, %, «2, «з) ™^<i ^w • = {Щ> Щ^ Щу «i» «2» %)

für alle w ^J^. A, Ä sind also konstante Vektorfelder, also [A,Ä]== 0 und folgHch (vgl. 3.3.(7')):

( 24 ) (d(o)i {a,â) = a-co(A)-a'œ(A).

Nun gut aber, da (o{I) ^^^(M x N x ^{M, N), N), wegen (5), (6) und [9], (8.9.1.1):

( 25 ) a • (o{Ä) = (Всо{А))г (o^, a,, a,) = JJ (Aco(l)),(a,). Aus (20), (23) berechnet man aber

{ Di ( o ( Ä ) ) i = о , (i)2Co(^))t = о und (i)3a>(l))i (ag) = a^(äj) ,

weshalb nach (25) gilt а • co(J^) = a^iâ^) und folgHch auch ä' œ(A) = ä^ioi)- ffieraus, aus (21), (22), (24) folgt aber (19), q.e.d.