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Helmut Schibk:

Es handelt sich аЬо darum, in Sp * [{x} x {«/}] das System der Relationen I. bis IV. zu betrachten, oder, was dasselbe besagt, in ® * [{a;}x{t/}] das System der Relationen III. und IV. Die Relationen I. und II. sind alsdann bloße Definitionen für er« (a) (a Ç ®, 0 ^ « ^ 5 - 1) midr^(C) = a^*(C) [C ^§0» P ^S)- Hieraus folgt einfach als Definition für a^ (a) {а^®,п Çg) : er** (a) = y-^x-^ax^y^ wenn 71 = ^5-4-^(0^^^5—1) die Restzerlegung von n ist.

Wir wollen nun so vorgehen, daß wir in ® * [{x} X {y}] zunächst die Relation oif = y einführen imd erst dann die Relation Ë = l. Die Einführung von oc^ = y bedeutet, daß wir in dem zweiten Faktor {x} x {y} von © * [{x} x {y}] die Gruppe {y} amalgamieren mit {af} (so daß af einfach die Definition ist für y) ; wir erhalten © * {x}. Man muß sich überlegen, was aus dem von Л in © * [ {x} x {y}] erzeugten Normalteiler Я1 wird, wenn wir у = oc^ einführen. Der Normalteiler Я1Л®* [{x} X {y}] geht dann über in einen Normalteüer §t zJ ® * {x}. Man beweist, daß aus 1 n © = 1 folgt: §î n © = 1.

Jedes Element /SÇ^ schreibt sich als Produkt von Elementen a^{a), a Ç ©; hierbei ist a^{a) mit n = ps + r (0 ^ r ^ s — l) eine Abkürzung für y-Px-^ax^y^. Somit schreibt sich /S Ç 31, /S Ф 1 in der Form:^)

S = y-'P^x-^'^a^x^^y'P^. . . 2/~^*л:-*'*a^i,a;'■*l/^* mit a,- Ç ©, a,- Ф 1 (1 ^ г ^ ä;) . Hierbei kann man nun die Transformierten mit derselben Potenz in у sammenfassen, so daß sich schreibt : aS = y~'^^C-^y'P'^. . . y~'^"'Grny^"'mitpi #= p^^^ für 1 ^ i ^ m ~ l, wobei für 1 ^ г ^ m jedes Ci ein Produkt

Ci = x~^*'^biX^*'^ . . . x~~%tib^^x%ti bedeutet mit r^,^ Ф /"i.^+i für 1 ^ / ^ ^^ — 1. Wir setzen Aa;(^t) = h '^^^

m

^x ( ^ ) = и h- Somit ist Xx(S) die Zahl der zur Bildimg von 8 benützten Trans-

formierten y-^x'^ax^y^ mit 0 ^ r ^ 5 — 1 xmd hängt nicht von der speziellen Darstellung von 8 ab. Wir setzen zusätzlich: Да?(1) = 0. Durch die Einführung der Relation у = x^ geht 31 in §1 über und ein Element >S Ç 31 in ein aS Ç §1. Jedes 8 Ç0Î, 8Ф1 sclireibt sich eindeutig in. der Form : 8 == x~^^ Oj^x^^... x~^*^an i^" mit 5^ Ф 5^+1 (1 ^ г ^ w — 1),«^ 6©, a^ Ф 1 (1 ^ г ^ w). Wir setzen: À{8)==n, Д(1) = 0. Man sieht nun leicht, daß ^(>Sf) = Л(8) erfüllt ist.

Durch die Einführung von у =^ x^ geht y~^x^^ax'^y^ (0 ^ r ^ s — 1) über in x~'^ax^ mit n = ps + r. Hieraus ergibt sich, daß bei dieser Ersetzung imter den Faktoren ж""**«^«** von 8 keine Amalgamierungen stattfinden können. Bei der Einfühnmg von у = x^ unterscheiden sich zwei nebeneinanderstehende Transformierte der Form y~^x~^ax^y^ entweder in dem Exponenten von у oder aber in dem Exponenten von x, falls die Exponenten von у gleich sind. Hieraus folgt die Behauptung durch die Eindeutigkeit der Restzerlegung n = ps -^ r (0 ^ r ^ 8 ~ l). Für ein/§Ç§ln©, /§ф1 würde gelten Я (Л) = 1. Es würde somit auch ein S Ф 1, /S Ç3l existieren mit Xx(8) = 1 in der Form:

* ) Man beachte, daß x mit y vertauschbar ist und daß gilt: y^atf^ — y^x-'^aTfy^ für fi=:pe-|-i(0^^^e — 1), vgl. Anmerkung 4. Die Darstellung in dieser Form ist dann eindeutig.