FxJCHS , M.

Math . Annalen 161,197—230 (1965)

Verallgemeinerte Homotopie-Homomorphismen und klassifizierende Räume

Von Martin Fuchs in Saarbrücken

Einleitung

Zu jedem H-Raum (vgl. Definition 5.1) konstruieren Dold und Lashof in [2] eine universelle Prinzipalfaserung. Diese Konstruktion induziert einen Funktor D in die Kategorie ^ der bogenzusammenhängenden topologischen Räume mit nicht ausgeartetem Grundpunkt und Homotopieklassen grund- punkttreuer Abbildungen. Wählt man als Ausgangskategorie dieses Funktors die Kategorie der H-Räume und Homotopieklassen von Homomorphismen ^, so hat dieser Funktor keine befriedigend schönen Eigenschaften. Betrachtet man z. B. den von der Konstruktion des Schleifenraumes induzierten Funktor Q\^-^^, so ist, bei Beschränkung unserer Objekte auf solche vom Homo- topietyp eines abzählbaren CW-Komplexes, zwar Du ^ l^ aber nicht QD ^ '^ 1^, ja, D ist für die Morphismen nicht einmal injektiv.

Wir faktorisieren D, indem wir eine neue Kategorie Ж einführen, welche dieselben Objekte wie ^ besitzt, aber andere Morphismen, sogenannte H- Morphismen. Die Dold-Lashof-Konstruktion induziert den Funktor

außerdem gibt es einen Funktor

welcher auf den Objekten die Identität ist. Es gilt D = BJ und JQB ^ 1^. В ist also ein bijektiver Funktor.

In den ersten vier Abschnitten dieser Arbeit befassen wir uns mit der Definition und formalen Eigenschaften der H-Morphismen. Sie werden mit Hilfe von H-Homomorphismen (Definition 1.2) definiert (vgl. 3.1 fif.), die eine Verallgemeinerung der SAMELSON'schen »Homomorphismen bis auf Homotopie' (vgl. [8]) darstellen. Im vierten Abschnitt wird eine einfache Charakterisierung der Isomorphismen von Ж hergeleitet.

In den Abschnitten fünf bis sieben beschäftigen wir uns mit der struktion von Dold-Lashof. Im Abschnitt fünf zeigen wir, daß diese struktion den Funktor В\Ж-^^ induziert, im Abschnitt sechs konstruieren wir einen natürlichen H-Morphismus von Я nach и(Вд, Ьд), imd im Abschnitt sieben kommen wir zu den bereits erwähnten Funktoräquivalenzen.