Homomorphismen und klassifizierende Bäume 201

Seien К und L lokalkompakte Hausdorfifräume und L dominiere К (bzw. К und L vom gleichen Homotopietyp), d. h. es gibt Abbüdungen r:K^L:s und

R : KxI - ^K (und 8: L x I->L)

mit (und mit

i2 ( fc , 0 ) = 5or(fc) S(h0) = ro8{l)

R { k , l ) = k 8(1,1) = !) ^

Seien Я, H die Räume der stetigen Abbildungen von К nach К bzw. L nach jL (Homotopieäquivalenzen von К bzw. Z) mit der kompakt-offen Topologie. Das Hintereinanderschalten von Abbildungen definiert eüie stetige, assoziative Multiplikation mit Neutralelement in H und H:

1Л ( Х^ , X^) = iTg о iCj, ß(x^, X^) = ^2 о Xj ,

dabei sind Xi*. К -> К, Xi : L-^ L {i = 1,2) stetige Abbildungen ( äquivalenzen).

Behauptung : E, r und s induzieren einen H-Homomorphismus f :H-^H.

Beweis . Setze foixo) = roXqos, Xq^H, dann ist fo(^)^H. Ferner sei /n(^o» h,. , ,, tny Xn) = r о Xn о Ë(tn) о - - - о Ë(ti) о Xq о s, Ё'. I -> H ist die durch R;K X I -^ К eineindeutig bestimmte Abbildung (vgl. Boubbaki, Topologie Générale, Chap. X, 2 prop. 9). Die so definierte Folge (/„) ist ein H- morphismus :

= r о X^o M (t^) о • • • о Xi о S о r о Xi^io * ' * о J? (fj) о Xq о 8

== ß ° (fn-i X /i-i) [Xq, ^,. .., Xi^i, Xi,..., f„, Xn), da 5(0) = 5 о r. b) /n ° F?»i(iro, ^, . . .yXi^^, Xi,. .., t^, x^)

= r о X^o M (tf^) о • ' * о XiO idj[ о Xi_iO * * ' о R (fi) о XqO 8

= fn-1 ° iM?(i«?o» ^i> • • • » ^i-v ^b . • ., ^n» лгп), da Ë(l) = id^ . 2.5. Hat man einen weiteren lokalkompakten Hausdorffraum M und Abbildungen u. L^ M .v mit einer Homotopie T von vou zur Identität von Ь, so ist ein H-Homomorphismus g\ H -^Ш nach der Art von 2.3 definiert {Ш ist der Raum der stetigen Abbildungen bzw. der Homotopieäquivalenzen von M nach M). Die Verknüpfung gf, gebildet nach 2.2, ist identisch mit dem durch die Abbildungen uor: K±^M:8ov und die Homotopie

( T + R) {X, t) =

8T ( r ( x ) , 2t ) , O^t^Y' R(x,2t'-l), y ^ ^^ 1 ,

definierten H-Homomorphismus von H nach Й.

2 . 6 . Sei H ein assoziativer H-Raum, x ein Element aus H und x^^ ein Homotopieinverses zu x. Ist к : I -^ H eine Abbildung mit 4(0) = xx"^ und ^(1) = e, dem Neutralelement von H, dann ist A : = (A„), mit