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Bruno Bosbach:

Allen zitierten Arbeiten bzw. Verfassern ist dabei gemeia, daß sie die idealtheoretische Frage mittels gewisser ausgezeichneter Teilmengen der gegebenen kommutativen Halbgruppe zu lösen versuchten. Diese Teilmengen wandelten sich vom Dedekindschen Ideal, in dessen Definition die tische Addition wesentlich einfließt, hin zum v-Ideal, das unabhängig und gleichzeitig von Arnold und van der Waerden entdeckt und dessen tion von Clifford später auf beliebige kommutative Halbgruppen übertragen wurde mittels (s\at =^ s\ct) => с ^a,80 daß alle klassischen Idealbedingungeni) erfüllt blieben und eine Reihe einschränkender aber wichtiger Fragen in seiner und den späteren Arbeiten des Verfassers beantwortet werden konnte. Eiae restlose Beantwortung von (F) konnte dagegen bis heute nicht gegeben werden.

Im folgenden soll deshalb durch eine neue Methode die Untersuchung weiter vorangetrieben werden. Hierzu bietet sich die Tatsache an, daß ein Holoid L genau dann vollkanonisch ist, wenn es komplementär ist, d. h. zu je zwei Elementen a, b ein (dann eindeutig bestimmtes) Komplement а * 6 mit ax^ b оX "^ a*b existiert, und darüber hinaus zu jedem b höchstens endlich viele x^bin. L existieren.

Wir charakterisieren zunächst in § 1 die Operation * axiomatisch und kommen so zum BegrifF der komplementären Halbgruppe. Um ihre Struktur aufzuhellen, untersuchen wir in § 2 und § 3 ihre Arithmetik bzw. ihre ideale Arithmetik 2). In § 4 charakterisieren wir die Kongruenzrelationen plementärer Halbgruppen mittels gewisser Teihnengen, die wir ideale, kurz 2;-Ideale, nennen wollen. § 5 bringt dann schUeßhch eine instruktive Lösung von (F). Dabei nennen wir eine Lösung instruktiv, wenn sie zwar eine schrittweise Konstruktion einer Erweiterung der gesuchten Art liefert, aber schon bei endlichen Holoiden mehr als endHch viele Schritte erfordert. Es läßt sich jedoch erkennen, daß das angegebene Lösimgsverfahren für unendliche Holoide gleichwertig ist mit Lösungen durch Teilmengenbereiche, so daß man bei späteren Untersuchungen zu (F) von endlichen Holoiden ausgehen darf, die nach [5] sogar eine atomare vollkanonische Erweitenmg besitzen, wenn überhaupt ein vollkanonisches Oberholoid zu ihnen existiert.

1 . Eine operative Charakterisierung komplementärer Holoide

Ist L ein vollkanonisches Holoid, so existiert zu jedem а Ç^L eine eindeutig

bestimmte unverkürzbare Vollprimfaktorzerlegung V{a). Hieraus ergibt sich

t t

weiter , daß L komplementär ist, denn für V{b) = JJq^^ ist a * 6 = TJg^, wenn

r=l T=l

l^ jeweils gleich m^ vermindert um das größte щ ^ m^ mit q^ \ а ist, was in [5] bewiesen wurde umd ohne allzu große Schwierigkeiten folgt.

1 ) Mit a^ ist auch n o« ein v-Ideal, {A}{B} C{ÄB}, {a} = aL, mit a, b ist auch Ь : а ein v-Ideal (vgl. [6] und [8]).

* ) Das scheint insofern gerechtfertigt, als zu den komplementären Holoiden u. a. die regulären VJ- bzw. n-abgeschlossenen Holoide wie auch die Booleschen Ringe, also recht zentrale Strukturen gehören.