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JÜBöEN Spilkbr:

gilt wegen der Dreiecksungleichung

d ( K ( l ) , yc^yj,K{l)) = d{yaK(l), yj,K(l))

g d(K(l), уоК{1)) + d{K{l), yjyK{l))

und damit y^^ yjy ^ Л%Щ), Ferner ist id^(9Il) Normalteiler in Л\Щ), ja sogar in ЛЦЩ.

Satz 10: Ist Ш ein Maßstück vom Typ (r^^, s^, t^, so ist die Gruppe Л\{Ш) bezüglich i antiisomorph zu der Gruppe der 0 Ç Л| (r^,, s^, t^) mit (7^^ = ± ^, C^> = ± J7 /ür /^ = 1, 2,..., gi sowie O^f^ = a^^, C^^ = b^E für komplexe Zahlen a^,, 6^ vom Betrag 1 und /л = gi -{- l, g^ -h 2,. ,,, m.

Beweis : Man kann annehmen, daß 9Й Ф ^„ und typisches Maßstück ist.

a ) Sei 7c €^п(2й(г,„5^„У) und eine Geodätische (7) mit (8) und (9) gegeben. Dann streben für Z -> oo alle Eigenwerte der Matrizen S(K{1), у^КЩ gegen 1, also die Hermiteschen Matrizen ^LL mit L:= ((З^лб^"') ^(à^x^~^^^) gegen E, Das bedeutet für die drei Diagonalkästchen L^^ von L

Indem man die Freiheit der k\f^^ in (8) benutzt, erkennt man, daß C^ und C^ Diagonalmatrizen mit Diagonalelementen vom Betrag 1 sind. Wegen der Normalteilereigenschaft von zl|(9îî) in id|(9îl) muß auch ÄCA~^ für jedes

Ml 0 0 \

\0 0 aJ

eine solche Diagonalmatrix sein. Daraus folgt, daß Ci und C^ VieMache einer Einheitsmatrix sind, also G in der im Satz 10 angegebenen Weise zerfällt.

b ) Sei umgekehrt ein solches G ^ A^ir^j^, s^, t^) gegeben. Weil die Matrix AGA-^ mit A ^ Л1(г^^, s^, t^) wieder diese Gestalt hat, genügt es, (9) für die Geodätische (7), (8) zu beweisen. Dann ist aber *L^^L^^ =z Е{н= 1, 2, 3), und *LL konvergiert für Z -> oo gegen die Einheitsmatrix, d. h. die Eigenwerte von S(K(l), усК(1)) streben gegen 1, woraus (9) folgt.

4 . Nach 1. endet jede Geodätische für Z->oo in einem Punkt iT Ç^„. Analog endet sie auch für l-^—oom einem Punkt L ÇMn» Zwei solche Punkte К xmd L aus ^„ heißen zweifach uneigentHch verbindbar (oder kurz: bindbar).

Lemma 11: Jede Mairix К aus eiTiem Maßstück vom Typ (r^, s^, f^) ist nur mit Punkten aus Maßstücken vom Typ (t^^y s^^, r^j) verbindbar. Jedes Maßstück enthält höchstens einen mit К verbindbaren Punkt. Jedes Maßstück vom Typ (t^, s^, r^) enthält genau dann einen mit К verbindbaren Punkt, wenn für jedes /i = 1, 2,..., m entweder г^, = n oder Sf^= n oder tf^ = n ist.

Beweis : Man kann ohne Einschränkung К = К* annehmen. Dann sind K* und —Z* durch jede Geodätische K{1) der Art (7) imd (8) verbindbar. Da jede Geodätische durch -ff* die Form усК (l) mit ус^* == ^* hat und у с (—К*) einem MaSstûck vom Typ {t^, s^^, r^) angehört, folgt der erste Teil der tung. Wenn уоД—Ж*) und усД—Я'*) aus demselben Maßstück sind, dann