Dreiecksgraphen

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Durch Anwendung von (4.1) folgt leicht:

( 4 . 2 ) D sei ein einfacher Pdg mit den Zentren e^ und e^. Es sei С (%) n (/(eg) Ф 0. Man habe drei freie Konsekutivkanten k^, k^y k^ auf C{e^. Dann kann man

die (mittlere) Kante k^ in D zusammenziehen oPzz,

Beweis : Es sei V ein Viereck von D durch k^. Da die beiden Nachbarkanten k^ und ÄJg von ÄJg nach Voraussetzung an keiner Ecke von (7 (eg) anstoßen, geht F wegen der Primität von D durch keine Ecke von C(e^ r\ Cie^). V muß aber, wenn es e^ und eg trennt, durch jede Ecke von C(ei) r\ C(e^ gehen. Nach (4.1) trennt F nicht D, Also kann k^ nach (2.3) zusammengezogen werden oPzz.

Man kann (4.2) noch verschärfen mit Hilfe des folgenden HiKssatzes:

( 4 . 3 ) D sei ein einfacher Pdg mit den Zentren e^ und eg. Dann haben je zwei e^ und eg trennende Vierecke V^ und Fg (von D) vom Typ 1, 2 oder 3 mindestens eine Ecke auf С (e^) gemeinsam. Ist hierbei eins der beiden Vierecke vom Typ 2, so haben V^ und Fg sogar zwei Ecken auf С (e^) gemeinsam.

Beweis : Ist eines der beiden Vierecke vom Typ 3, so haben F^ und Fg (mindestens) eine Kante auf 0(ej) gemeinsam. Gilt Fj = 0{e^, so haben С (eg) und С (ej) eine oder zwei gemeinsame Kanten, durch die Fg (als e^, eg trennendes Viereck) hindurch gehen muß. Wir können daher voraussetzen, daß beide Vierecke vom Typ 1 oder 2 sind und V^ Ф С (eg) gilt. Da Fj die beiden Ecken e^ und eg trennt, liegen entweder ej im Inneren und eg im Äußeren von V^ oder umgekehrt eg im Inneren und e^ im Äußeren von Fj. Wir sagen (kurz), ein Stern X Hegt in bzw. außerhalb V, wenn das Innere eines jeden Dreiecks von X im Inneren bzw. Äußeren von F liegt. Entsprechend sagen wir für im Inneren bzw. im Äußeren manchmal auch (kurz) in bzw. außerhalb. Wir zeigen nun zuerst, daß wir oben den ersten Fall, also X(ej) liegt in Fj, ^(eg) dagegen außerhalb Fj, annehmen können. Denn, liegt ^(eg) in Fj, so gibt es wegen С (eg) ф F^ ein Flächendreieck А von D in Fj, das nicht zu ^(eg) hört, q sei irgendein Punkt im Inneren von Л. Dann liegt q

1 . in Fl,

2 . außerhalb (des in Fj liegenden) X(eg),

3 . nicht auf D und

4 . liegt X(e-^) außerhalb F^.

Wir können dann die (ganze) Ebene topologisch so auf sich abbilden, daß q in den Koordinaten-Nullpunkt 0 der Ebene und Fj in den Einheitskreis mit dem Nullpunkt 0 übergehen. Spiegeln wir dann noch die Ebene am kreis, so liegen in dem (isomorphen) Bild von D nunmehr (umgekehrt) das Bild von e^ im Inneren und das Bild von eg im Äußeren des Bildes von Fj. Wegen der Gebietsinvarianz unserer Abbildung können wir also im weiteren Verlauf des Beweises voraussetzen, daß Х{е^) in F^, ^(eg) dagegen außerhalb F^ Hegen. Nun können wir den Beweis sofort zu Ende führen. Wir bemerken vorweg, daß keine Kante von D zwei gegenüberHegende Ecken von F^ verbindet, da sonst D nicht prim wäre. Hätte Fj mit Fg keine Ecke auf C(ej) gemeinsam, so würde folgen, je nachdem Fg vom Typ 1 oder 2 ist, daß eine oder zwei Kanten (einschHeßHch ihrer Endpunkte) von Fg im Inneren von Fj lägen. Dann lägen