Dreiecksgraphen

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Beweis : Da 0(6^) r\ 0(62) = S{2) gilt, gibt es eine Kante ki^Ç:C{ej) die nicht an ^(2) anstößt. Jedes e^ und e^ trennende Viereck geht dann notwendig auch durch 8(2), Daraus folgt nach (4.1) V = 0(6^). Mit anderen Worten können wir kl zusammenziehen oPzz, wenn С(е^) kein Viereck ist. Hieraus folgt durch Iteration und entsprechende Anwendung auf С (eg) unsere Behauptung.

Weiter gilt :

( 4 . 7 ) D sei ein einfacher Pdg mit den Zentren e^ und eg» ^^ ^ sei G{e^ r\ пС(е2)ФА(2).

Dann kann man jeden freien Kreis G von 0(e^ und 0(62) (vgl. § 3) auf ein Viereck zusammenziehen oPzz.

Beweis : С besteht nach Definition aus einem freien Stück С von 0(6^) und einem freien Stück G" von G(e^ (vgl. § 3). Wir nehmen an, C" enthalte ( destens) drei Kanten. Dann gibt es (natürlich) drei Konsekutivkanten ^ir ^2' ^3 С C^'j wovon k^ eine freie Kante von G{e^ ist. Ein e^ und e^ trennendes Viereck durch k^ mußte aber durch die beiden gemeinsamen Ecken von G' und C" gehen. Wenn es ein trennendes Viereck Fg durch k^ gibt, so wäre es also nach (4.1) notwendig vom Typ 3, d.h. es wäre ~G(e^, Dann wäre aber C{e^ r\ G{e^ = S{2), Es bleibt also nur übrig, daß es kein trennendes Viereck durch k^ gibt. Nach (2.3) können wir k^ zusammenziehen oPzz. Da^wir analog für G" schließen können, folgt hieraus durch Iteration unsere Behauptung.

Man überzeugt sich leicht, daß es (bis auf Isomorphic) nur einen einfachen Pdg mit den Zentren e^ und e^ der Gestalt gibt: G{e^ und 6^(62) sind Vierecke mit genau einer gemeinsamen Kante (vgl. Fig. 6 und auch (4.6)).

Da dieser Dg im folgenden für uns wichtig ist, bezeichnen wir ihn mit Dg^. Da wir in den früheren Hilfssätzen G{e^ und G{e^ auf Vierecke gezogen haben, brauchen wir noch den HiKssatz :

Fig . 5 Fig. 6

( 4 . 8 ) D sei ein einfacher Pdg mit den Zentren e^ und eg. G (e^) und G (e^ seien Vierecke, die höchstens eine Ecke gemeinsam haben sollen. Dann folgt: Dy D^^ resp, ej, ва & oPzz,

Beweis : Wir setzen zuerst

C ( ei ) A ( 7 ( e2 ) = {2?}(Ecke)

voraus . p\q' bzw. p'\q" seien die beiden Nachbarecken von p auf G(ei) bzw. 0(62). Wegen der Primität von D ist p' mit p" durch eine Kante k^ bunden (s. Mg. 6). Wie man leicht nachprüft, gibt es kein trennendes Viereck