Randverhalten von Minimalflächen

Wir wollen zweitens bemerken, daß sich ähnliche a priori-Schranken auch für das freie und halbfreie Randwertproblem* von Minimalflächen aufstellen lassen. Dann müssen wir, um die Randbedingungen zu linearisieren, das freie Flächenstück lokal zu einem ebenen Stück aufbiegen. Die Transversalitäts- relationen führen zur Aufstellung einer Gleichung, die (2.10) entspricht. Für den halbfreien Fall hat H. Lewy [7] bewiesen, daß die Minimalfläche ein analytisches freies Flächenstück in einer analytischen Kurve als Spur setzt und daß sie sich auf der Spur analytisch verhält. Es gelang mir nicht, zu Existenzsätzen für das Randverhalten von Minimalflächen zu gelangen, deren Rand auf nichtanalytischen Flächen liegt, da die passenden sätze fehlen. Dagegen scheint eine etwas abgeänderte Art von a priori-Un- gleichungen erfolgreicher zu sein. Hierauf hoffe ich, in einer anderen Arbeit zurückzukommen.

Abschließend wollen wir feststellen, daß sich unsere Abschätzungen nahezu wörtlich gleich auch für Flächen konstanter mittlerer Krümmung H aufstellen lassen, deren Existenz für hinreichend kleine Я-Werte von E. Heinz [3] bewiesen wurde. Hier scheint es noch keinerlei Betrachtungen über das Randverhalten zu geben; insbesondere fehlt das Analogon des gebnisses von Lewy.

6 . Konforme Abbildung

Unsere Ergebnisse gelten, wie man ohne weiteres sieht, nicht nur für malflächen X) = (y^ y^, ..., y") im 3-dimensionalen Raum (n = 3), sondern auch für beliebiges « ^ 2. Besonderes Interesse verdient dabei der Fall n = 2 der formen Abbildung ebener Gebiete. Hier fällt nämlich — wie J. Douglas merkt hat — das Plateauproblem mit dem Riemannschen Abbildungssatz zusammen, die Minimalfläche г)(м, v) ist daher bis auf Normierung eindeutig bestimmt. Also läßt sich der Satz 4.1 anwenden, und wir bekommen:

Satz 6.1. Sei G ein beschränktes, einfach zusammenhängendes Gebiet in der W'Ebene, das durch z = z(w) konform auf die Fläche des Einheitskreises В in der z-Ebene abgebildet wird. Gehört der Rand Г von G zur Klasse C*"^^, so liegt z(w) in C^{G), und die inverse Abbildung w = w{z) liegt in C^(B).

Bisher scheint nur das von Lichtenstein [8], S. 365—366, ohne Beweis

angegebene Resultat bekannt gewesen zu sein: Wenn G zur Klasse В (oder

dz auch nur Ah) gehört, so ist —— in G + Г vorhanden, stetig und genügt einer

Я - Bedingung . "^"^

Außerdem hat S. E. Warschawski [12] mittels der isoperimetrischen Ungleichung die Hölderstetigkeit von w{z) in В bewiesen unter der setzung, daß Г rektifizierbar ist und die Bogenlänge auf Г einer Lip- schitzbedingung genügt. Ferner zeigt Warschawski, daß w'(z) in \z\ ^ 1 stetig ist, falls der Tangen ten winkel t(s) stetig ist und einen stetigen modul œ{t) längs Г hat, für den J------dt < oo ausfallt. Ein Spezialfall hiervon

^st^in älteres Resultat vonO. D. Kellogg.

* Vgl. dazu [2], Chapter VI, S. 199—222.