Noethersche Gruppen II

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liebige Normalteiler X, Y von G gilt, so folgt aus Hilfssatz 2.1 weiter, daß {XY)nG eine Folge von XnG und YnG ist. SchHeßlich gilt

Lemma 2.2. Ist 1 der einzige abelsche Normalteiler von G, sind X, Y teiler von G mit X^Y, so ist dann und nur dann YnG, wenn XnG und {Y/X)n{G/X) gelten.

Beweis . Die Notwendigkeit der Bedingungen folgt sofort aus den geschickten Bemerkungen. Wir nehmen also an, daß XnG und {Y/X)n{G/X) gelten. Sei T der eindeutig bestimmte Normalteiler von G mit X^T und T/X = c{Y/X). Aus unseren Voraussetzungen folgt, daß G/cX und

[ G / X ]/c( Y/X) = [G/X ]/ [T/X]^ G IT

zwei n-Gruppen sind. Nach Hilfssatz 2.1 ist auch G ЦТ n cX] eine n-Gruppe. Ist t ein Element aus Г n cX, so induziert t in YjX und in X den 1- morphismus, stabilisiert also den Normalteiler X von Y. Hieraus folgt kanntlich toY^iX\ vgl. Specht ([9], p. 88, Beweis von Satz 19). Als teristische Untergruppe des Normalteilers X ist 5Z ein Normalteiler von G; und als abelscher Normalteiler ist 3X nach Voraussetzung gleich 1. Also ist t о у = 1, so daß t in с У liegt, und wir haben T n cX g с У (sogar „=") gezeigt. Da GI[T r\ cX] eine n-Gruppe ist, ist auch G/сУ eine n-Gruppe und es gilt YnG.

Bemerkung 2.3. Selbstverständlich gelten (3G)nG und 5 [G/3G] n(G/5G). Es ist aber nicht schwer, eine Gruppe G derart zu konstruieren, daß 52 G nicht n-eingelagert in G ist. Dies zeigt die Unentbehrlichkeit der Voraussetzung, daß 1 der einzige abelsche Normalteiler von G ist.

Lemma 2.4. Die Gruppe G habe die folgenden zwei Eigenschaften :

( a ) 1 ist der einzige abelsche Normalteiler von G.

( b ) Ist das epimorphe Bild H von G keine n-Gruppe, so existiert ein teiler N + 1 von H mit N' пН.

Dann gilt:

( 1 ) Ist X ^1 ein Normalteiler von G, so gibt es einen Normalteiler Y von G mit IczY^X und YnG.

( 2 ) Der Durchschnitt aller Normalteiler X von G mit n-Faktorgruppe G/X ist gleich 1.

Beweis . Sei Z Ф 1 ein Normalteiler von G. Ist Z n G, so wählen wir X = У, um (1) zu beweisen. Wir nehmen also an, daß X nG nicht gilt. Dann ist G/cX keine n-Gruppe und wir können (b) anwenden. Folglich gibt es einen teiler S von G mit cXczS und [S/cXJn [G/cX].

Wäre [S/cX]' = 1, so wäre S' ^ cX und hieraus ergibt sich

( SnZ ) 'gS'nXgZncZ = 3X=l,

wie aus (a) folgt, da 3Z ein abelscher Normalteiler ist. Also ist S n Z ein scher Normalteiler von G; und aus (a) folgt S n Z = 1, so daß

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