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P Günther

triviale Lösungen cp besitzt. Über die Auflösung von M, [cp] = гр bei festem t und gegebenem xp werden zwei Bemerkungen gemacht, die sich auf den Fall V = S^ beziehen^. Die Beweise für diese Resultate beruhen auf der Tatsache, daß in einer harmonischen Riemannschen Mannigfaltigkeit für die Lösungen (p \опА2(р-\-^(р = 0 gilt^:

v { t ) ( p { x ) = Mt[(p]{x),

wobei die v{t) einer gewöhnlichen Differentialgleichung genügen. Aus den Eigenschaften von v{t) kann man auf die von M^ [cp] schüeßen.

In § 3 wird gezeigt, daß für eine kompakte Mannigfaltigkeit konstanter negativer Krümmung gilt:

ïimM , l9 ] = ^

( pdv .

Daraus kann man z. B. leicht entnehmen, daß es stets geodätische Linien gegebener (genügend großer) Länge t gibt, die in einem beliebigen Punkt xeV beginnen und in einem gegebenen Gebiet U CV enden, ohne dabei von den Sätzen über das ergodische Verhalten der geodätischen Linien Gebrauch machen zu müssen. — Den Schluß bildet eine Anwendung unserer tungen auf das Anfangswertproblem bei der Differentialgleichung

— - 2— Л2 w + Cw = 0

für eine gesuchte Funktion u{t,x), wobei xsV und r^0 und

du m(0, x) = (p{x), — (0, x) = \p{x)

gilt . Ist dabei V kompakt, DimF=3, so gilt das Huygenssche Prinzip im engeren Sinne genau dann, wenn V konstante Krümmung К besitzt und C = K isf*. Eine kleine Anfangsstörung breitet sich dann zunächst ringförmig über V aus, jedoch verhält sich die Trägermenge der Lösung für große t in den Fällen X > 0 und X ^ 0 ganz verschieden.

§1

Es sei V eine n-dimensionale, vollständige Riemannsche keit der Klasse C°°. Ist xeV, so sei T^ der Tangentialraum von x ; dieser ist ein euklidischer Raum, т^ sei das zugehörige Volumenelement (eine n-Form

^ Fur den euklidischen Fall siehe hierzu John [7], insbesondere Kap VI — S,^ kann mit der Antipodenmannigfaltigkeit von x zusammenfallen, fur diesen Fall bei symmetrischem V ist das Problem von Helgason [6] gelost worden

^ Siehe RusE, Walker, WiLLMORE [12], Friedman [2]

" ^ Siehe Günther [4] — Das Anfangswertproblem fur ein V konstanter Krümmung, DimF= 3, und C — 0 wurde schon von E Holder explizit behandelt Poissonsche formel in nichteukhdischen Räumen, Ber. Verh Sachs Akad Wiss Leipzig 90, 55—66 (1938) Dabei wird fur das auftretende Diffusionsglied u a auch ein asymptotischer Ausdruck fur f -► 00 angegeben, ferner findet sich dort ein Hinweis auf die fastperiodischen Eigenschaften der Losung