284 P. Günther:

Ist ûg9S, so sei fi{u)=-----— (Expso)s=i. Dann ist fx ein involutorischer

as

Diffeomorphismus von 93 auf sich selbst. Ferner gilt p^ii = q und qoix = p.

Schließlich sieht man leicht ein, daß )U*(^*(a)) лр*(а))) = (-1)''д*(а)) лр*(а))

sowie ^*(e) = (--l)"e gilt. Damit folgt dann

J feq*{co) л p*{a))= ^{fo jii)eq*(œ) л p*(co).

Nach diesen Vorbereitungen ergibt sich

{ ( p , K , [ ip ] ) = jcpf J {y)oq)Aœ= ^ {(po p){xpo q) eq*{œ) A p*{œ) V \s^. / «t

= j{(poq){\pop)8q*{(o) Ap*{œ) = {К, [cp], xp).

Damit ist die erste Formel in (1.3) gezeigt. Die zweite ergibt sich daraus durch Differentiation nach t.

Bemerkung : Werden in einer Umgebung von x in F Normalkoordinaten eingeführt und sind Qij die Komponenten des Fundamentaltensors in diesen

Koordinaten , so ist

UM ) = g{qM^dM~^ mit 6f = Det(^,,.).

Hieraus folgt, daß l/^(û) die im allgemeinen nur lokal definierte sog. Diskri- minantenfunktion von V ist (vgl. Ruse, Walker, Willmore [12], p. 17ff, insbesondere p. 19). U^ia)^ ist dann der Anfangskoeffizient in der Hadamard- schen Grundlösung der zu V gehörigen Potentialgleichung. Die eigenschaft der Diskriminantenfunktion drückt sich auf 93 so aus :

U { fi { a ) ) =U { a ) ,

d Diese Invarianz ergibt sich so: 1л^{а)= —— (Expsa)^^^ ist eine einparametrige

as

Gruppe von Diffeomorphismen von 33 auf sich selbst, — die geodätische

Strömung von V. Es ist /i(a)= — ßi(a). Es gilt dann:

/ i * ( e t/t^ л p*{co)) = (/г* U) sßf{x^ л p*{(o)),

andererseits nach dem Beweis von Hilfssatz 1 :

fi * ( sUx^ А p*(œ)) = еС/т^ л р*{со).

Nach dem Liouvilleschen Satz über die Invarianz des Volumenelementes von

95 gilt aber für beliebiges t :

fU'^x А Р*(су)) = t^ л p*{a)).

Daraus folgt sofort die Behauptung.

Hilfssatz 2: Es gibt nur von V und t abhängige Konstanten А und B, so daß für alle stetigen Funktionen (p auf V gilt :

( 1 . 4 ) \\KAcp]\\uAM, \\МА(р]\\йВ\\(р\\.