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E . Gottschling:

wollen beweisen, daß die Nullstellen der Funktionaldeterminante jf (man vgl. (53)) der durch (56) gegebenen Abbildung (57) genau mit den Fixpunkten der Gruppe Л im Bereich W übereinstimmen. Es sei z' eW vorgegeben. Wir überlegen uns zuerst, daß es genau dann eine in W enthaltene Umgebung W von z' gibt, so daß die Einschränkung </)| Ж' injektiv ist, wenn z' kein Fixpunkt von Л ist. Ist zunächst z' Fixpunkt von Л, gibt es also eine von der Identität verschiedene Abbildung ХеЛ mit der Eigenschaft A(z') = z', so gibt es wegen der Stetigkeit von À zu jeder Umgebung W von z' eine Umgebung W" von z' mit der Eigenschaft X(W") CW\ Da ferner Я nicht die Identität ist, gibt es Punkte z e W" mit der Eigenschaft À{z) + z. Es ist aber a;(A(z)) = û;(z)(man vgl. (31)). Wegen f^,...,f^ER^ gilt daher (p(À(z)) = (p{zX d. h. (p\W' ist nicht injektiv. Wenn umgekehrt z' kein Fixpunkt von Л ist, so gibt es eine in W enthaltene Umgebung W von z' mit der Eigenschaft À^{W')r\À2{W') = d für irgend zwei verschiedene Abbildungen Ài,À2€A. Für irgend zwei verschiedene Punkte w, w' € W gih dann œ(w') Ф co(w). Nach der Aussage (C) ist daher <p(w') + (p{w), d.h.(p\ W ist injektiv. Wir überlegen uns ferner, daß der Punkt z' eW genau dann eine in W enthaltene Umgebung W besitzt, so daß die Einschränkung (()\W' injektiv ist, wenn für die Funktionaldeterminante jy der Abbildung cp die Aussage if(z') Ф 0 gilt. Daß aus jj-{z') + 0 die Existenz von W folgt, ist ein klassischer Satz. Gibt es umgekehrt die Umgebung W von z', für die (p\W' injektiv ist, so folgt die Behauptung ;y(z') Ф 0 aus Theorem 7 auf S. 179 in [1 ]. Damit ist gezeigt, daß die Nullstellen der Funktionaldeterminante jf genau mit den Fixpunkten von A übereinstimmen.

Wennjy . eine Potenzreiheneinheit ist, so folgt aus (54) unter Beachtung von (49), daß beide Funktionaldeterminanten j^ und j^ Einheiten sind. Die tung (55) ist dann trivial. Wenn j^ keine Einheit ist, so sei

( 58 ) Jf = qV-^q1'

die Zerlegung der Potenzreihejy^ in Primreihen, wobei also q^ ...,qt nicht ziierte Primreihen aus R^ sind und /ij,..., n, gewisse natürliche Zahlen sind. Nach geeigneter Verkleinerung von W konvergieren die Primreihen ^i,..., ^, in W. Es sei H die Nullstellenmenge won jf in W und Я^, /с = 1,..., Г die stellenmenge von qj, in W. Für jede in W analytische Menge M sei (M)q der von M im Nullpunkt erzeugte Mengenkeim. Nach Theorem 19 auf S. 91 in [16] ist dann durch

( 59 ) (Я)о = (Я1)ои-и(Я,)о

die unverkürzbare Darstellung des analytischen Mengenkeims {H)q als einigung analytischer Primkeime gegeben. Nach Theorem 11 auf S. 113 in [16] besitzt ferner jeder Primkeim (Я^)о, fc= 1,..., r die Dimension m- 1.

Wir benutzen jetzt, daß die Nullstellen von jf genau die Fixpunkte der Gruppe Л im Bereich W sind. Da jede Abbildung XeA Unear ist, ist die punktmenge von Я ein linearer Unterraum des Ç'". Die Dimension dieses Unterraumes ist genau die Vielfachheit des Eigenwerts 1 der Abbildung Д. Bezeichnen wir mit Яд die Fixpunktmenge der Abbildung ÀeA, so gilt also