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H . Rüssmann:

erhält ^ Diese sogenannte Normalform von H ist unabhängig von der wählten kanonischen Transformation (3) eindeutig bestimmt. Im Falle der Konvergenz einer Transformation (3) ist das transformierte Hamiltonsche System

dt drjj' dt d^j ^ "••'"^

offenbar sofort explizit integrierbar, und somit das gegebene System (1) durch Reihenentwicklungen in einer Umgebung von Xi = ••• =y„ = 0 gelöst.

Die Konvergenzfrage wurde erstmals von Siegel [7] behandelt. Er zeigte für den Fall n = 2 und rein imaginärer Eigenwerte A^, Я2, daß im allgemeinen keine konvergente kanonische Transformation (3) in die Normalform existiert.

n

Die Divergenz wird durch die Summen ^ Àjgj hervorgerufen, welche wegen

j=i (2) zwar von Null verschieden sind, aber doch beliebig klein werden können und in den Nennern der Koeffizienten der rechten Seite von (3) auftreten. Von der präzise gefaßten Divergenzaussage blieb jedoch die Menge jenigen Hamiltonschen Systeme (1) unberührt, deren Erzeugende H die spezielle Normalform

00

( 5 ) Я= X M^Ci + - + A„C„r ia, = l)

11=1

mit reellen oder komplexen Zahlen «2» «з? ••• ^ besitzt. Es ist das Ziel der liegenden Arbeit, für diese Hamiltonschen Systeme die Existenz einer vergenten kanonischen Transformation in die Normalform (5) nachzuweisen, falls die Eigenwerte A^,..., A„ noch den Ungleichungen

( 6 )

I h9j

>c

( 1 . Ч'

für alle ganzen Zahlen gfi,.., ö^n ™^ Y, \9j\>^ genügen. Dabei sind с und v

j=i feste positive Zahlen. Bekanntlich existieren für alle Systeme von Eigenwerten Я1,..., A„ mit Ausnahme einer Nullmenge geeignete Zahlen с und v. Wir formulieren die eben aufgestellte Behauptung in dem S^Ltz. Wenn die Eigenwerte A^, ...,Я„ des Hamiltonschen Systems (1) die Ungleichungen (6) mit festen positiven Zahlen с und v erföllen und die erzeugende Funktion H von (1) die ausgeartete Normalform (5) besitzt, dann gibt es eine konvergente kanonische Potenzreihen-'Ransformation (3) von H in die Normal- form (5).

Daß Konvergenzaussagen trotz der „kleinen Nenner" möglich sind, wenn diese Nenner vermöge (6) oder entsprechender Ungleichungen nicht „zu klein" werden, hat zuerst Siegel [8] am Beispiel des funktionentheoretischen Zentrum-

' Vgl. [6], [7].

^ Tatsächlich sind die a„ alle reell, wie man leicht sieht.