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К . HrNDERER:

Dem Beweis schicken wir eine kurze Bemerkung voraus. Für jede komplex- wertige Zufallsvariable U = X + iY setzen wir ff^u = a^X + a^Y. Eine fache Rechnung ergibt

fnfv / " ^^^ " ' flf 9еФ werde a„e'"- = x;. + iY;, gesetzt. Es ist dann nach (7) I(a^Z^ + (T^y;)=X(a^^„ + (7^yj = oo. Da die a„ und damit auch die ^ und Y„ P-Î. s. gleichmäßig beschränkt sind, folgt aus einem bekannten Satz (Zweireihensatz, [11], S. 251), daß mindestens eine der Reihen У X' У Y' wesentlich divergent ist. Daher ist ^ a.e'"" wesentlich divergent. Insbesondere" ist L«n P-f.s. divergent, woraus r^^l folgt. Aus der P-f s. gleichmäßigen Beschränktheit der a„ folgt r(o}) ^ 1 für P-f a. ш e Й, also r^ = 1

( ^Ыш der Instabilität von {a„} folgt die wesentliche Divergenz von 2,a„e " fe alle среФ. Insbesondere ist г«^!. Nach Arnold ([2], Satz 1) folgt aus lim(£K|)»/"^ 1, daß Гоè 1 ist. '

( y ) Wegen lim|öJi/-=l ist Го = 1. Außerdem ist {a„) instabil. Würde namhch 3 •ехр[,>,]-Я„ P-f s. gegen Null konvergieren, so würde dasselbe fur die Folge exp[iv,] -^Jg„ = exp[it/;„] -я; gelten. Es wäre dann jimtA;| = 1, und mittels des Lebesgueschen Satzes von der majorisierten Konvergenz erhielte man |£ехр[,>,]-Я;|^£|ехр[,>„]-Я;НО(п-.оо). Im Widerspruch zur Voraussetzung würde dann \E exp [i v;„]| ^ |Д;| -1£ exp [irp„] - Я^Н 1 („ ^ oo) gelten.

{ Ô ) Ist lim I^J > 0, so verfahrt man analog zum Beweis von (y), wobei man zum Nachweis der Instabilität von {a„} eine Teilfolge {g„J mit lim \gj = Ш\д„\

und die gegenüber (y) verschärfte Bedingung lm|£exp[i>J|< 1 verwendet Ist hmlö 1 = 0, so sind die Variablen a„ = X„ + iY„ gleichmäßig beschränkt und eine leichte Rechnung liefert ^ {a' x„ + ajj„) = l^ \g„\^ (1 -1£ expЦгр„П ^'^l^^^^ diver&crt, da j:\gf = ^ und lim|£exp[r>„]|<l ist. Nun läßt sich Teil (a) des Satzes anwenden. Q

KoroUar 2. Die zufällige Potenzreihe_a = {aj habe unabhängige zienten der Form a„==c„b„, c„ konstant, lim|c,r"=l. Die Variablen b„ seien nicht ausgeartet, identisch verteilt und P-f. s. beschränkt. Dann gilt

a ) Ist X |c,P < 00, so ist a{; ■) P-f s. in jedem Sektor von \z\ < 1 von be-

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schränkter Charakteristik.

b ) Ist Y, |cj2 = 00, so ist a{; ■) P-f s. in jedem Sektor von \z\ < 1 von beschränkter Charakteristik.

Beweis . Aus den Voraussetzungen folgt sofort Tq^ 1. Die \b„\ haben eine gememsame wesentliche obere Schranke d. Im Fall a) ist dann У |a p^

Z^^H a?.I'!-^- ^^°" «^''^'■^ P-^-^- J^^« Funktion a(-,) zur Klasse »2 (s. [14], S. 110), ist also (s. [14], S. 54) in \z\ < 1 (und damit in jedem Sektor von |z|<l) von beschränkter Charakteristik. (Die bei dieser Überlegung ins Spiel kommenden Mengen Al^ und Л$ sind meßbar.) Im Fall b) treten zwei