Reproduzierende Kerne und nukleare Räume II

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Beweis . Nach Gelfand-Wilenkin [3] oder Maurin [6] ist für die Hilbert- Schmidtsche Eigenschaft von (6) das Bestehen der folgenden Ungleichung notwendig und hinreichend

Il|r / zj|à , . , <cx ) ,

I

wobei {ftJ ein vollständiges Orthonormalsystem in H ist. Wegen der speziellen Gestalt der Norm (5), der Voraussetzung (Operatorenkerne existieren in H) und wegen (4) haben wir

ZII ^^.llà<.> = E Z j UnTK) {хГ dfi„{x)

n X i

= E jll^^x„rWllàrf/i„(x)<oo,

n X

also die Bedingung (7). Dabei ist nach maßtheoretischen Sätzen (siehe Halmos [5], S. 112) die Vertauschung von Summen und Integralzeichen legitim; die Glieder |(y4„T/i,) (x)|^ sind nämlich nicht negativ.

Wir wollen eine Verallgemeinerung der Sobolewschen Räume W^^^iQ), siehe [13] oder [17], angeben und Einbettungssätze studieren.

Sei Gl С R'^ ein offenes Gebiet (beschränkt oder unbeschränkt) und МДх) > 0 eine stetige Funktion auf G^. Sei K^l\Mi), 1 ^ p ^ oo, der Raum aller meßbaren Funktionen cp auf G^, deren Ableitungen D>, \s\ S U im Distributionssinne (=T)' siehe [12]) existieren und für welche die Norm

11Ф11^=1 Y^WcpixrMmdx, l^p<oo.

Gl N^i

( 8 ) oder

\W\\koo = supIDXx) • МДх)|, für p = 00 ,

endlich ist.

Der Beweis, den Yosida [18], S. 55, für die Vollständigkeit der schen Räume W^p^ führt, kann fast ohne Änderung (die einzige Änderung ist, daß man statt dx das Maß Mf(x) dx nimmt) auf die Räume Kf{M^ übertragen werden, und wir erhalten

Satz 2. Die Räume Kf{M^, 1 ^ p ^ oo sind vollständig ; speziell ist der Raum Kf{Mi) ein Hilbertraum. _

Bekanntlich (siehe Sotolew [ 13], S. 64) ist die Einbettung von }¥^Щ -^ C(ö) stetig, wenn die Bedingung r<lp erfüllt ist (Й С R" beschränkt, und hinreichend regulär), d. h.

( 9 ) M,SÄ(Q)\\cp\\^a^.

( 9 ) wollen wir in der für uns bequemeren Form gebrauchen :

( 10 ) \<P{t)\ ^ A{d) Г 2: J |/>Хх)Г dx f^,

6 *