Reproduzierende Kerne und nukleare Räume. II

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wobei gesetzt wurde

Die Definitionen der W- und E-Räume findet man bei Gelfand-Schylow [2], Palamodow [9] und Wloka [14], während die ®- und O-Räume bei Schwartz [12] und Palamodow [9] auftauchen.

Satz 4. Die folgenden Einbettungen sind nuklear

a ) WJSUCWJS?^^ für A<A\q>q'+-^,

3r ШтА>А\ q>q'+-Y^

3r für/c^fe' + 6, q>q'+ — ,

3r Ô) Ol?^COi<> fürfe^fc' + 6, q>q'-^^,

wobei wir unter 6 den Vektor 6 = (Ç, §,..., 6) verstehen.

Folgerimg . Alle diejenigen lokalkonvexen Räume, die wir aus obigen durch projektive bzw. induktive Limesbildung erhalten, sind nuklear, so z. B. die Räume Wm, Em, ®, Cjvf und wir erhalten äquivalente Darstellungen dieser Räume, wenn wir die snp-Normen in (19) durch Lp-Normen Г X Л^* ...|^dxl ^^^ ersetzen.

l\s\uq R'- J

Bemerkwg . Wir nehmen für M(x) (eine Variable) eine konvexe Funktion (mit M(oo) = oo), siehe Gelfand-Schylow [2], oder Wloka [14], [16], während wir für r-Variable setzen

Beweis . Wir setzen der Kürze halber

und definieren die Räume FF^f^, indem wir das sup-Zeichen in (19) durch Z l\D\..f dxV^P für 1 SP<^ ersetzen. Wir betrachten die Einbettungs-

kette

nu w<'7) vw(i6) -^w('5) -^wM -»«Р^^Ч ->ЖН -^W^

{ __________________II___________________I

mit A-jK ••• <A^ und

( 22 ) /7е/б>'5+-у^'4>^з-Ьуе'2>'1+-у-

Da hier Gi = R' ist, können wir d^ = 1 (siehe Satz 3 und (10)) nehmen, und wir sehen (siehe Lemma 1 und 2 in [16]), daß unter den Voraussetzungen (22) die Bedingungen a) und b) des Satzes 3 für alle 1 ^ p < oo erfüllt sind. Nach diesem Satz 3 sind also alle Einbettungen in (21) stetig und die unterstrichenen Hubert- Schmidtsch (Satz 3 c)). Zwei Hilbert-Schmidtsche Abbildungen ergeben aber

ß ) E^IaCE%U. (20)