Divisorenklassengruppen lokaler Ringe

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Sämtliche assoziierten Primideale der Lasker-Noether-2ferlegung b = p^"*^n... .. .np^j^^"^ von b sind offensichtlich ebenso wie b nicht in m*' enthalten. Daher ist

к

Ф ) = Е^хФхХ Pxi^^ x=l

Eine solche Darstellung war aber zu finden.

Beweis zu Satz 2. Aus der Voraussetzung von Satz 2 folgt, daß jedes gemischte Ideal b der Kodimension 1 in Ä ein Hauptideal ist, wenn b | m^. Ist p ein Primideal der Kodimension 1 in R, so kann p daher nicht den setzungen von Hilfssatz 1 genügen, ist also ein Hauptideal. Wir erhalten: R ist faktoriell.

Beweis zu Satz 3. Diesmal sind keine zusätzHchen Voraussetzungen über jR gemacht. Sei p ein Primideal der Kodimension 1 in Я, p g m*". Das Tensorieren mit der LokaUsierung R^ von R nach p ist ein exakter Funktor; i^st N ein Я-Modul, dann sei N^: = N®rRp- Wenn p ein Hauptideal ist, so ist jR^ trivialerweise regulär. Ist p kein Hauptideal, dann können wir wie im Beweis zu Satz 1 nach Hilfssatz 1 exakte Sequenzen (1), (2) und (3) konstruieren, b ä m'' (wir übernehmen die Bezeichnungen). Da b ^ P ist, haben wir :b^ = R^. Nach (3) ist (R/b)^ = 0. Nach (2) ist dann M^ = F^ ein freier Ä^-Modul. Wegen (1) ist somit die homologische Dimension des maximalen Ideales pR^ von R^ endlich. Nach dem Satz von Serre schließlich ist R^ regulär ; siehe Nagata [2], (28.2).

§2

Der erste Schritt zum Beweis von Hilfssatz 1 ist ein Abbau der Dimension.

Sei also z im maximalen Ideal m von R so gewählt, daß zфm^ und daß z zu einem zulässigen Ideal von jR gehört. Sei p ein ungemischtes Ideal der dimension 1 in Я mit p:Rz = p. Weiterhin nehmen wir an, daß p kein ideal ist.^

Mit R sei der lokale Ring R/Rz bezeichnet und mit m dessen maximales Ideal. Wir werden in diesem Paragraphen sehen, daß sich die in Hilfssatz 1 gegebenen Eigenschaften des Syzygienmoduls M von p aus ähnlichen Eigen- Schäften des R-Syzygienmoduls M des Ideales p:={pi-Rz)/Rz ableiten lassen. Das minimale Erzeugendensystem {Л, ...,/„} von^p sei so gewählt, daß M der zugehörige Relationenmodul ist. Hat f^ep die Ä-Restklasse /^, dann wird p wegen z € m und p:Rz = p minimal von den fu...,f„ erzeugt ; man beweist dies wie üblich mit dem Lemma von Krull-Nakayama. Insbesondere ist n^2.

Wir nehmen jetzt^n, daß es einen freier^ Untermodul^ des Ranges n - 1 in M gibt^so daßJA/F ein zyklischer Modul R/b ist, wobei b % m*'. _ Se£ {A2,..., Л„} eine Basis von F. Wir nehmen ein А^вМ hinzu, so daß F.RA^^b,

Modulo Rz ergibt jede Syzygie der /1, ^.,/„ eine Syzygie der /1, .^.,/„. Dadurch ist ein Homomorphismus (p:M-^M definiert, (p bildet M auf M ab: Ist nämlich Fi /1 -f • • + r„/„ = 0 eine Relation in Ä, dann gibt es mit Urbildern s^ von f^ in R eine Darstellung s^/i+ • •4-s„/„ = e2. Wegen p:Rz = p ist

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