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К . Spallek:

Bemerkung . Die Räume C^^(^o), АГ= 1,..., a),a;,cy*, C^C^o) und QU.o) sind komplexe Vektorräume. Die Räume Г(е^о), ЛГ = 1,2,..., oo, со sind reelle, i.a. keine komplexen Vektorräume. Die Räume Сз(ЛД C^^ CMzo) sind i.a. nur gegenüber Multiplikation mit komplexen Zahlen abgeschlossen.

Im weiteren v^ird eine Anwendung von Satz 2.2.2 gegeben. Sei cp : Ж^^^ C^o eine umkehrbare differenzierbare Abbildung. Sei J{(p) die Jakobische Matrix von (p im Punkt x^. Ist а ein Vektor in IR^", der von x^ ausgeht, с e C, dann sei ca: = J{(p)~ ^ • с • J{(p) • a. Auf diese Weise wird der an x^ geknüpfte reelle Vektorraumkeim IR^? ein komplexer Vektorraumkeim, wobei die reelle Struktur erhalten bleibt. Die so gewonnene komplexe Struktur heiße C^-Struktur.

Jeder reelle Hneare Unterraumkeim Lq IR^J hat bezüglich der C^-Struktur eine Komplexifizierung L^-^ ; d. i. der kleinste bezüglich C^ komplexe raum, der L enthält. Unter der C^-Dimension von L verstehen wir die plexe Dimension von L^*^. Nun gilt in Verallgemeinerung eines Satzes von H. Rossi, [3 ], wenn A^o С C^o wieder ein analytischer Mengenkeim ist :

2 . 2 . 3 . Satz. Es gibt eine endliche, nur von Ä^o abhängende Zahl N, so daß folgende Aussagen äquivalent sind :

a ) In geeigneten lokalen holomorphen Koordinaten des C^o.'9:C;;,o-^C"o, hat Amodie Gestalt (p-'iA,o) = Ä^o x (^lo,wobei€lo=<Cl-o^ x C^wndiJoCO^ analytisch ist.

b ) Es gibt holomorphe Tangentialvektorfelder v^, ...,i;, auf A^o derart, daß v^{z% ..., Vi{z^) komplex linear unabhängig sind.

c ) Es gibt N-mal stetig differenzierbare Tangentialvektorfelder Vu...,Vi auf A,o derart, daß Vi{z% ..., Vi{z^) komplex linear unabhängig sind.

d ) In geeigneten lokalen {N+l)-mal stetig differenzierbaren Koordinaten des С^о.-фгЕ^г^С^о, hat A,o die Gestalt (p-\A,o) = Â,oX]R}^o, wobei IR^?= ïï^o""'' X IR^'o, i^oC IR^?"^' und C^-DimlR^'o^ / ist.

Beweis . Nach H. Rossi, [3 ], Satz 3.2, ist a) mit b) äquivalent. Nach Satz 2.2.2, Behauptung b) ist b) mit c) äquivalent. So bleibt die Äquivalenz von c) und d) zu zeigen. Daß aus c) die letzte Behauptung d) folgt, ist wegen der schon wiesenen Äquivalenz von c) und a) klar : Die durch holomorphe Koordinaten cp gewonnene C^-Struktur ist nämlich gleich der Ausgangsstruktur. Schließlich folgt aus d) auch c) :

Sei ф:П1^г^а:^о(ЛГ-[-1)-та1 stetig differenzierbar, (p = {(pu .^^,(p„l und A,o habe in m^S = {(wp ...WaJLo die Gestalt (p-'iA^o) = i^oXlR^'o, B^'o = {(wi,..., Uy)}^o. Sei h ein in z^ holomorpher Funktionskeim mit h\A^o = 0^

i^oXlR^'o = 0 für ï = l, ...,r. Das

' ( P

^^oXlR^'o = 0^ Y, -^—°(p

dh ô(pj

1 = 1, ...,r, definieren ЛГ-mal stetig differenzierbare Tangentialvektorfelder auf A^o. l von ihnen sind in z° komplex Hnear unabhängig, wie aus der aussetzung C^ - Dim IR^'o ^ / folgt, q.e.d.