Ein Hebbarkeitssatz in der Algebra

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г

Я ( т ) : К = Я(т):(Х,Я) = Я(т):(а1,...,а,)= n(^H*«iMst daher;бЯ(т):Х

1=1 fest vorgegeben, so gibt es zu jedem i ein s^j ф m mit s,j -ja^eH. Mit s^ : = Sj^... s^^ ist also Sj'j-a.eH für alle i, also Sjj{K,H)cH, SjjeH :{K,H) = H :K, und wegen Sj ф m, schließlich j g{H:K) (m).

b ) Zu jedem ae{H:I)(m) gibt es ein sфm mit saeH:!, also s• /• a = I'S'aCH^I'aCH{m), aEH{m):L Ist nun {IJ*)/I* endlich erzeugt, so gibt es il,..., iV G (/,/*) mit (/,/*) = (/*, 4,..., Ц und es gilt H{m):I

r

= H{m) : (/, /*) = П (^И • ^'j)- Ist daher а e Я(т) : / fest vorgegeben, so gibt

es zu jedem; ein s„j ф m mit s^j -ij-aeH. Mit s^ : = s«i... s„, wird also s^-a-i^eH für alle;, also 5«а-(/Д*)СЯ. Es folgt 5«а€Я:(/,/*) = Я:/, аб(Я:/) (m),

da 5д ^ m. q. e. d. _____ _

1 . 5 . KoroUar. a) Я : К С Я : X ; =, /a//s [К, Н)/Н endlich erzeugt ist. Ъ) НПсН:1; =, falls (/,/*)//* endlich erzeugt ist.

Beweis , HTK= Ç] {H:K){m)C f] {H{m):K) = ( f] Щт)): K = H:K,

meVR meVR \meVR ]

HTI = f] {H',I){m) С П {H{m):I) = ( f] H{m)):I =H:I. SchUeßlich sind die Inklusionen unter den gemachten Zusatzvoraussetzungen Identitäten. (Lemma 1.4), q. e. d.

1 . 6 . Korollar. Mit H ist auch H : К undß : / abgeschlossen. Beweis. ТПКСН:К = Н:К, ETICH\I = H',1,

1 . 7 . Korollar. Ist H abgeschlossen, so gilt H:I = H:I.

Beweis . Mit K: = H:I ist IcH.K, also IcH:K, da Я, also H:K geschlossen ist. Es folgt KCH'.T, Trivialerweise gilt aber KdH:I, q. e. d.

1 . 8 . Korollar. a) Ist (X, H)/H endlich erzeugt und gilt für ein abgeschlossenes Ideal I, daß H : КС/, so ist auch H:KcL b) Ist (/*, /)//* endlich erzeugt und gilt für einen abgeschlossenen Modul M, daß H:/CM, so ist auch H:IcM,

Beweis , Es ist Я:К = ЯТХС/ = /, H:I = H:IcM = M, q.e.d. Für später benötigen wir noch :

1 . 9 . Lemma. Für ein Ideal IcR gilt: a) Ist asR kein Nullteiler in RH, so ist a^eR^ für kein meV(I) ein Nullteiler in RJI^. b) Ist I = T+R und aeR Nullteiler in R/I, so ist К((/,а))ф0 und a^eR^ für mindestens ein m e F((/, a)) Nullteiler in R Jim- Beweis, a) Sei r/s e R^ und a^ • r/s e /^ ^ 3s* ^ mmit s* • a • r e / ^ s* • r g /,

da a kein Nullteiler in jR// ist. ^ r/s e J^, q. e. d. b) Sei r 6 К - / und a • r g /. Da / abgeschlossen ist, gibt es ein meV^ mit г^ф1т- Es ist sogar те V{I\ da sonst /^ = Rm wäre. Da а^'Г^^4. ist also a^ Nullteiler in RJI^- Das bedeutet aber auch а g m, da a^ andernfalls Einheit in R^ wäre, q. e. d.

§ 2. Pimktal- шА lokalendliche Zerlegungen

11 Eine Familie {H^;ieJ = Indexmenge} von Untermoduln Я, С G heißt punktalendlich (bezüglich Vr), wenn zu jedem meV^ eine endliche Teilmenge ./(m)С J^ existiert mit Д: G^m für ieJ- J{m).