R . Borges:

[ 5 ] , daß der Randpunkt zu E gehört. Eine dritte Möglichkeit ist, die Existenz eines Randpunktes in jeder Stützebene zu beweisen [8] und dann durch ständige Induktion unter Verwendung von Satz 2 die Abgeschlossenheit zu beweisen.

Ähnlich wie bei Kudo [7] soll hier mit dem klassischen Hilfsmittel der Theorie der konvexen Mengen [4], der Stützfunktion und ihrer /c-ten Richtungs- derivierten als Stützfunktion der Randmenge fc-ter Ordnung, die Zugehörigkeit der Ecken von E zu E selbst nachgewiesen werden. Dabei zeigt sich, daß man wie in Satz 2 auf Voraussetzungen verzichten kann, die die Endlichkeit von E sichern, und darüber hinaus wie V. Baumann [2] ausdrücklich zulassen kann, daß die allgemeinen Maße Sprünge haben.

Satz 3. Gegeben seien 1. allgemeine Maßefi^ |Я,..., /1„|Я wber der Grundmenge M und 2. zu jedem xeM eine beschränkte eckenabgeschlossene Menge S{x) С /^", deren Stützfunktion G(u, x) für jedes ueR"" R-meßbar sei. 3. (£ und E seien wie in Satz 2 gebildet und nicht leer. Dann ist E eckenabgeschlossen.

Aus Satz 2 und 3 folgt leicht der folgende Satz, der alle uns bekannten Versionen des Satzes 1 und seiner Spezialfälle enthält, namentlich sei hier nur noch R. Borges [5], Satz 4, die entsprechende Verallgemeinerung des Satzes von Ljapunoff, genannt. (Zum Beweis beachte man, daß jede kompakte konvexe Menge von ihren Ecken aufgespannt wird.) Ferner wurde die Aussage von Satz 4 von Kudo [7], Theorem 1, unter der speziellen Voraussetzung bewiesen, daß S{x) konvex und kompakt ist sowie die in Formel (9) unten gegebene Stützfunktion v-integrabel für alle ue R" ist.

Satz 4. Es seien die Voraussetzungen von Satz 3 erfüllt. Darüber hinaus mögen entweder alle allgemeinen Maße jn^, ..., /i„ keine Sprünge haben oder alle S{x) konvex sein. Ist dann der Durchschnitt D einer Stützebene von E mit der schlossenen Hülle E"" von E nicht leer und beschränkt, so ist DcE.

Für den Spezialfall, daß S{x) für alle x genau aus dem Nullvektor und dem Vektor mit lauter Komponenten gleich Eins besteht, haben wir in [5] schon Beispiele angegeben, daß E in den beiden folgenden Fällen bei nicht endlichen allgemeinen Maßen /i^, ..., /z„ nicht abgeschlossen sein kann:

1 . Es ist n = 2 und /л^, ^2 haben keine Sprünge. 2. Es ist n = 1 und //^ hat Sprünge.

2 . Beweis von Satz 3

Wir geben zunächst eine Beschreibung der Extremalpunkte der geschlossenen konvexen Hülle S"" beliebiger nicht leerer Teilmengen S des K" durch die Richtungsderivierten der Stützfunktion der Menge S.

Ist A eine nicht-singuläre Matrix, so nennen wir in Anlehung an [9], Def. 5, t^ eine Л-Еске von TCjR", wenn f^ ein Punkt der abgeschlossenen Hülle T" von Г ist und At ^^ At für alle t g Г gilt. Dabei bedeutet das Zeichen ^ die lexikographische Ordnung der Komponenten der Vektoren des R". Offensichtlich ist jeder Extremalpunkt von T eine Л-Еске von T mit in der Regel nicht eindeutig bestimmter orthogonaler Matrix А und umgekehrt. Enthält T alle seine Л-Ескеп t^, so heißt T eckenabgeschlossen.