Vogt , D.

Math . Annalen 173, 219—232 (1967)

Integrationstheorie in /?-normierten Räumen

Herrn Ernst Holder zum 65. Geburtstag gewidmet

Dietmar Vogt

Sei E ein vollständiger p-normierter, linearer Raum, d. h. ein Raum, dessen Topologie durch ein positives, konvexes Funktional q{x) gegeben wird, das der Bedingung q{tx) = \tfq{x) genügt, wobei 0 < p ^ 1. Sei weiter (ß, ^, /x) ein Maßraum. Es ist das Hauptziel der vorUegenden Arbeit, eine theorie für Funktionen von Q nach E zu entwickeln.

Im Falle p= 1 (Banachraum) gewinnt man bekanntlich einen Raum L^{E) integrierbarer Funktionen durch Vervollständigung des Raumes T{E) der Treppenfunktionen auf 0 mit endlich vielen Werten aus E und (für Werte фО) Konstanzmengen endhchen Maßes aus ^ mittels der Norm^ ||/||i = f 11/(011 dfxit), wobei || || die Norm in E bedeutet. Das Integral auf Li{E) bekommt man durch Fortsetzung des in natürlicher Weise auf T{E) definierten Integrals, das bezüglich || ||i stetig ist.

Im Falle p < 1 führt dieses Verfahren nicht zum Ziele, da das auf T{E)

definierte Integral bezüglich der entsprechend gebildeten p-Norm ||/||p

= f 11/(011 dfi{t) (II II p-Norm in E) nicht notwendig stetig ist, wie Beispiele

Г тсП zeigen. Siehe hierzu [2], Beispiel 3.1. Dort wird für (2=0, —- und das

Lebesguesche Maß gezeigt, daß das auf T{E) definierte Integral bezüglich der

p - Norm sup II/(t) II nicht stetig ist, also erst recht nicht bezüglich irgendeiner t

Integralnorm der oben angegebenen Art.

Die infolgedessen aufgetauchte Vermutung, daß die Existenz eines Integrals an die lokale Konvexität des Raumes E gebunden sei, wird von B. Gramsch in [2] widerlegt. Dort wird eine Riemann-Integrationstheorie gegeben, die z. B. den Funktionalkalkül für Operatoren in p-normierten Räumen sowie die Gelfand-Theorie liefert. B. Gramsch hat auch darauf hingewiesen, daß, falls E®pEi ein Funktionenraum ist, dieser Raum einen vernünftigen Raum integrierbarer Funktionen darstellt.

Nach einem ersten Paragraphen über topologische Tensorprodukte lokal p-konvexer Räume (siehe hierzu [2] und [3]), zeigen wir deshalb, daß für p ^ ß ^ -f 00 die Räume E^pLq Funktionenräume sind (Satz 3 und 4). Dabei

1 Wir identifizieren im folgenden immer fast überall gleiche Funktionen.