224 D Vogt

КогоИагЗ . E(S)qLq(ß) ist ein Funktionenraum für 0<q^p.

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Beweis . Daß für jede Darstellung w = X «t®/n Z M^^^ WfiK < + oo die

1 = 1 1 = 1

Reihe Y, ^ifM fast überall konvergiert, folgt aus 1=1

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1 = 1 1=1

dem Satze von Beppo Levi und der Tatsache, daß /^ с Ip.

Satz 4. E®pLq{p) ist ein Funktionenraum für p^ß^ +oo.

Beweis . Wir führen den Beweis zuerst für l^g<+oo (für pSQ<l, falls рФ 1 geht er fast genauso) und setzen zunächst voraus /iß< +oo, also ohne Einschränkung der Allgemeinheit /iß = 1.

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Sei ueE®pLQ{ii\ u= Х^к®/ь S 11%11 IIAIIê< +oo. Wegen

/ c=l fc=l

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J E ll«Ji \fk\'dß=^ X lla.ll IIAII,^ X \Ы \\М\й E ll«J 11Л11е< +00

fc=l fc=l fc=l k=l

folgt aus dem Satz von Beppo Levi, daß ^ \\a^\\ \f^{ty und damit auch

Z %/fc(0 für fast alle t konvergiert, und wegen J

k=l

Ï %Л(0

/ c=l

rf / i^

E^fe® / ^

k=l

für alle n ist die zugeordnete Funktion u{t)= Y^^kfM von der Reihen-

fc=i

entwicklung unabhängig. Wir nehmen an ü{t) = 0 für tф A, iiiÄ = 0 und setzen ||/fc||Q= L Letzteres läßt sich immer erreichen.

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( 1 ) I E ll«*ll \Â\^dß= X llaJI ||Л||е= X lla.ll < +00,

fc=l k=l k=l

d . h . die Funktionenfolge F„{t)= ^ Ца^Ц |Л(0|о konvergiert punktweise fast überall gegen 0.

Zu jedem m existiert eine Menge A^ mit juA^ < 1/m, so daß F„(t) auf ß - Л^ gleichmäßig gegen 0 geht (Egoroff). Ohne Einschränkung A^+^cA^, d.h.

lim Elkl|(J|A|öd/iy/ß = o.

Wir wählen Шо, so daß daraufhin AT, so daß

( 3 ) E lla*ll<£ (4) Fjv(f)<e auf Q-A„„.