Integrationstheorie in /?-normierten Räumen 229

Beweis . Da auch E^®^Lq{^) ein Funktionenraum ist, ist die kanonische Abbildung von E^^Lq^ii) in Е^^е^Ьд^а) eine stetige Injektion. Е^е^Ьд besitzt separierte schwache Topologie. Ist E separabel, so haben wir :

L\ ( E ) = {EépL.y, = {E.éLJ = L\{E,) = 1^{E'). Zum letzten Gleichheitszeichen siehe z. B. [1]. Mit E ist auch Ej, separabel.

3 . Integrationstheorie inp-normierten Räumen

Wir können uns nun der eigentlichen Integrationstheorie zuwenden. Wir bezeichnen L^{E) als den Raum der integrierbaren Funktionen.

Definitions . Das Integral ist diejenige stetige, lineare Abbildung von Li(£) = E®pL^(^) in £, die der stetigen, bilinearen Abbildung {а,/)т^а l fdß von E X Li(/x) in E entspricht.

00

Ist also ueL^(E\ so besitzt и eine Reihenentwicklung u= Yj^kfk mit

Z ll^fcll 11Л111 < + ^? und das Integral berechnet sich zu fc=i

00

fc=i

Satz 4 sichert, daß dieser Wert nur von der Funktion u, nicht von der speziellen Reihenentwicklung abhängt. Kor. 6 zeigt, daß das so gegebene Integral sich auch als Grenzwert von Zerlegungssummen ergibt. Die dort erwähnten /„

ntn

haben die Gestalt ^ u(^^) c^n, und es gilt

i=l

rrin

i=l

Satz 6. Durch /г„(Л) = judfi = ^uc^dfi wird ein a-additives, fx-totalstetiges,

А

vektorwertiges Maß auf ^ erklärt,

00

Beweis , и besitzt eine Reihenentwicklung w= Yu^kfk mit ||а^|| = 1 für

alle к und Y. Il/fclli< +oo. Seien Л^е J^^, f= 1,2,..., paarweise fremd. fc=i

( QO\qO COOO 0000 00

i=l / k=i «^ fc=l 1=1Аг i=i k=l Аг i=l

1=1 '

Es ist Wfi^AW S Ë M 1Л1 djÀ . Sei г > О vorgegeben. Wir wählen N, so daß

L 11Л11?< ^ und Ô, so daß für fiA<ô und k=l...N\ \f^\d/iu(-^) .

fc=iv ^ J \2N J

16 Math Ann 173