Zur Theorie der analytischen Mengen

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3 . Nach Lemma 5 gibt es nur endlich viele Komponenten von Тг\(с' x Z). Schließt man wie oben für die von S verschiedenen Komponenten, so erhält man die Aussage des Lemmas.

Beweis des Theorems IIL I. Q sei die Menge aller der с aus W, für welche gilt: Es gibt eine Umgebung U{c) so, daß Tn(U{c)xZ) eine rein (r + 1)- dimensionale analytische Menge ist. Lemma 7 sagt aus, daß QinW offen und dicht ist. Wir setzen nun M :=Tn{Qx Z). Nach Definition ist M eine rein (r + l)-dimensionale analytische Menge in g x Z. Es soll gezeigt werden, daß M in WxZ analytisch ist. Dazu sei P die abgeschlossene Hülle (in W) der Menge P aller der Punkte с aus W mit der Eigenschaft : M hat auf ex Z eine Singularität. Für P gilt: (1) PcW-Q. (2) P ist abgeschlossen in W; und P ist in W nirgends dicht.

II . Behauptung : P ist leer

1 . Angenommen, P sei nicht leer. Dann wende man Lemma 8 auf jedes с aus P an. So folgt : Zu jedem с aus P gibt es erstens einen Kreis D{c) um с und zweitens eine rein (r-f l)-dimensionale analytische Menge B{c) in D(c)xZ, welche in T enthalten ist und für die B{c)n{w = c)=Tn{cx Z) ist. Man wähle D{c) speziell mit rationalem Mittelpunkt und Radius.

Der übliche Schluß (vgl. §1,9.) lehrt, daß es ein c^ in P (c^ natürlich halb W), einen Kreis К um c^ und eine Teilmenge P^ von P geben muß mit der Eigenschaft: P^ ist in PnK dicht und zu allen с aus P^ gehört derselbe Kreis D^:= D{c). Ohne Verlust an Allgemeinheit darf man annehmen, daß P^CKCD^ ist. Denn ist das nicht von vornherein erfüllt, so nimmt man statt К einen anderen Kreis und für P^ eine Teilmenge.

2 . All die Mengen B{c) (für с aus P^) sind analytisch in D^ x Z. Wir haupten : Ist p = (c', d) ein Punkt auf KxZ, dann ist die Vereinigung aller B{c) (c aus P^) analytisch in p. Zum Beweise wählt man die Koordinaten im z-Raum so, daß p = (c',0) und für eine Umgebung Uip) auch TnU{p)n{w = c')n n(zi=- =z^ = 0) gerade der Punkt p ist. Man schließt nun genau wie im Beweis zum Theorem la unter A, (2), daß es eine Umgebung V(p) gibt mit der Eigenschaft: V(p)n[JB{c) (c aus P^) besteht aus endlich vielen irreduziblen

с

( r 4- l)-dimensionalen analytischen Mengen. Denn es gibt überhaupt nur lich viele irreduzible analytische Mengen der Dimension r +1 in V{p), welche in Г enthalten sind. (Vgl. die Bemerkung zu A, (2) im Beweis zu Theorem la.)

3 . Man definiere nun В als diese Vereinigung : ß = (J B{c) (c aus P^).

с

Dann gilt : (1) È ist analytisch in К x Z. (2) BcT.{3)Bn{Kx Z) ist rein (r +1)- dimensional. (4) Bn{w = c) enthält Tn{c x Z) für alle с aus P^, (Wegen (2) sind diese Mengen sogar identisch.)