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J . Ватт:

3 . Kompakte und schwach kompakte Transformationen

Satz 4. Die folgenden Aussagen sind äquivalent :

( a ) T ist (schwach) kompakt auf C(/, E).

( b ) Die Fortsetzung Tß ist (schwach) kompakt auf B{I, E).

r

( c ) Die Menge der Elemente Yj ^(^j)^j fö^ beliebige endlich viele tj€l,

j = o Xj E S ist bedingt (schwach) kompakt in F.

Beweis . Wir beschränken uns beim Beweis auf den schwachen Fall. Es sei a die abgeschlossene Einheitskugel aus C(/, E) und сгд die aus B{I, E). Ist (a) erfüllt, dann ist die schwach abgeschlossene Hülle Tä von Та schwach kompakt in F. Sei gsa^. Dann gibt es eine Folge /„ g a, so daß Г/„ -^T^g schwach in F konvergiert. Da jede schwach Jkompakte Menge schwach abgeschlossen ist, gilt TßgeTa, und also TßaßC Ta und es gilt (b). Aus (b) folgt insbesondere,

г

daß alle Elemente Yj (^(^j)~ ^i^j-i))^j für beliebig endlich viele j = i

in der schwach kompakten Menge fCal liegen. Aus (b) folgt also (c). Liegen

r

alle Elemente Y, (^(O)" f^(0-i))^j ^^ ^^^^^ schwach kompakten Menge in F, so auch alle Elemente ^ f{t)dU{t), fea, als starke Grenzwerte dieser. Also

a

folgt (a) aus (c), und Satz 4 ist bewiesen.

4 . DarsteDung durch vektorwertige Borel-Maße

Im folgenden verwenden wir die Begriffe und Bezeichnungen im Sinne von [6], Kapitel III. Ist ju eine skalare oder vektorwertige Mengenfunktion auf einem Mengenkörper I von Untermengen einer Menge /, so ist

v ( ii , M ) = sup Y MMj)\\

die „totale Variation von /i auf M еГ'; das Supremum wird erstreckt über alle endlichen Folgen {Mj} disjunkter Mengen in I mit Mj С M. Ist dere / ein topologischer Raum, so heißt eine auf Z definierte additive funktion /i „regulär", wenn für jedes Met und e>0 eine Menge Gel existiert, deren Inneres M enthält, und eine Menge FeE, deren Abschluß in M enthalten ist, so daß \\ix{E)\\ <e für jede Menge EeI mit EcG-F. Mit ^ bezeichnen wir den Körper der Borel-Mengen aus / = [a, jS].

Hilfssatz 2. Jede durch eine linksnormierte Funktion f von beschränkter Variation mit Werten im Banachraum E auf I erzeugte endlich additive wertige Mengenfunktion fi besitzt eine eindeutige Fortsetzung zu einem regulären Borel-Maß ß auf M mit Werten in E. Es gilt

( 4 . 1 ) v{ß) = v(ß),

insbesondere also v{fi, I) = [Var/]f.