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von Ф aus Funktionen, die auf (т(о) verschwinden, fur halbemfaches ê besteht der Kern genau aus den auf a{a) verschwindenden Funktionen Da {a} , em System analytischer Erzeugender von S ist, haben wir mit Ф eine Abbildung

7 . Der Funktionalkalkül mit der Idealtheorie von Cartan und Oka

Waelbroeck hat m [21] den Funktionalkalkul mit Hilfe der Idealtheorie der Funktionentheorie mehrerer komplexer Veränderlichen (vgl [21] 3 2 Theorem 2) gewonnen, indem er den allgemeinen Fall auf den der mengen (Satz 5 1) zurückführte Die Stetigkeit des Integrals (2 3 1) gestattet dieses Verfahren auch fur (p)-Algebren, womit wir eine weitere Möglichkeit erhalten, den Funktionalkalkul mehrerer komplexer Veränderlichen zuleiten

Sei S(à) die rationalkonvexe Hülle des gememsamen Spektrums a{a) von Ol, ,a„eS Jede kompakte Menge in С ist rationalkonvex im Gegensatz zu kompakten Mengen in C", nè2, andererseits ist jede kompakte Menge in <C" gemeinsames Spektrum von n Elementen einer geeigneten Banachalgebra Bezeichnen wir mit ^ die Menge aller Polynome in n komplexen lichen, so liefert die rationale Konvexität von S(a) die Beziehung

S ( a ) = {zeC" P(z) + 0 fur ОфР{а{а)),Ре^},

denn em Polynom nimmt auf der rationalkonvexen HuUe einer Menge M nur Werte an, die es bereits auf M annimmt ([21], S 164) ОфР(а{а)) ist äquivalent mit P{a{M)) Ф 0, M € SR, und deshalb mit der Existenz von Р{аГ ' Dies in den obigen Ausdruck fur S(a) eingesetzt ergibt die von Waelbroeck eingeführte Definition des Spektrums

S ( a ) = {2 6C" P(z) Ф0 falls Р{аГ'€Е,Ре^} = {ze(C" P(z)e(T(P(a)),Pe^}

W^r geben nun eme spezielle Basis des Umgebungsfilters von S{a) an Д, j-l, ,n, und Aj, 7=1, ,JV, seien beschrankte offene Mengen mit endlich vielen Komponenten endhchen Zusammenhangs in der komplexen Ebene und P„j = l, ,TV, Polynome m den Veränderlichen z„ ,z„, es gelte ff(a.) С D, und сг(РДа)) С Л^ (fur Д kann man Kreisscheiben wählen) Die offenen Mengen

C / p^= { zeC " , z , 6A , i = l, ,n,Pj(z)eA^,j = l, ,N}

bilden nach der vorangehenden Charakterisierung der rationalkonvexen HuUe von ff(a) eine Basis des Umgebungsfilters von S{a), denn der schnitt aller Upf, mit dem Komplement einer Umgebung von S(a) ist leer so daß man dies bereits mit dem Durchschnitt endhch vieler Up ^ erreicht (man geht zu L^ über und benutzt die Kompaktheit von <т{Р.(а))), die tretenden Durchschmtte sind in der angegebenen Umgebungsbasis von S(a) enthalten ^ '